为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（143）：黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置的一些仿真结果（1）

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、黎曼 ζ函数非平凡零点与素数位置

图1  黎曼被迫接受了产生正整数“信息混叠”的ζ(s)

图2  黎曼的 J(x) 的具体构成

图3  li(x) 给出了增长趋势

图4  最后两项是非震荡的修正，与“端点效应”有关

图5

图6  非平凡零点，给出了素数的位置

图7

图8  前三对非平凡零点的波形

图9  前几对非平凡零点形成的波纹，反映了素数的位置信息

二、感慨：黎曼假设，并不能产生“真正精确的”素数计数函数？

   上面的图9，似乎是这样。

   以前数值计算里表现出了“端点效应”，看来不是假象，而是真实的存在？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-06 23:52，[打听，科普，数学] 素数（116）：实数域的欧拉乘积，有没有零点？用 Eta Function 表示之后呢？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542502.html

[2] 2026-06-27 23:31，[打听，科普，数学] 素数（107）：黎曼 ζ 函数零点分布、随机矩阵理论的本征值分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541253.html

[3] 2026-04-24 00:15，[笔记，科普，数学] 素数（44）：黎曼ζ函数前4个非平凡零点千位数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531844.html

[4] 2026-04-22 17:12，[图片，科普，数学] 素数（42）：黎曼ζ函数零点与素数计数函数π(x)的 Wolfram 仿真之一 （关联：端点效应）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531595.html

[5] 2026-4-18 21:05，[图片，科普，数学] 素数（38）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530979.html

[6] 2026-08-01 23:51，[笔记，科普，数学] 素数（142）：“欧拉乘积 Euler product”引入了比算术基本定理更多的多余项（2）？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1546109.html

[7] 2026-07-31 22:33，[笔记，科普，数学] 素数（141）：欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）引入了比算术基本定理更多的多余项？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545990.html

[8] 2026-07-30 23:34，[笔记，科普，数学] 素数（140）：lnζ(s) 并不能仅仅给出素数？而是只能给出素数的所有幂次？（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545839.html

[9] 2026-07-29 23:00，[笔记，科普，数学] 素数（139）：ζ 函数与欧拉桥（欧拉乘积 Euler product）（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545709.html

[10] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[11] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542143.html

[12] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[13] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[14] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1537745.html

[15] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html

[16] 2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了

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[17] 2023-03-01 17:30，[打听] 四色定理计算机“证明”的“诗、电话簿”原文

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[18] 2024-07-17 22:41，[实验，理论，数学文化] 物理学试验与数学证明：庞加莱看正态分布

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[19] 2024-11-19 22:49，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得、高斯对“算术基本定理”研究的有效性

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[20] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[21] 2024-11-15 22:52，[数学文化] 数学研究的“客观派”正式成立！

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[22] 2024-07-24 22:41，[笔记，科普，资料] The Millennium Prize Problems 千禧年大奖难题

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[23] 2025-05-25 06:38，[优先权？] “P对NP”已经解决。 The P vs NP (P versus NP) has been solved

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