为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（131）：黎曼 1859 论文阅读笔记（10）

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

   将这些值代入到 f(x) 的表达式中，我们得到^[11]

^（3）[5] 其中和式  过方程 ξ(α)=0 的所有正根（更确切地是所有有正实部的复根），这些根按模的增序排列。对于函数 ξ 进行更细致的讨论就可以证明，在这种排序之下，级数

收敛到一个极限，这个极限与积分

当 b 趋向无穷时所得到的极限是一样的。然而，如果改变这种排序的话，级数可以收敛到任意的实数值。

   函数 F(x) 可以由 f(x) 来得到，这要通过反转关系式

产生出

其中 m 跑遍所有这样的自然数，它们不能被除了 1 之外的任何平方数整除，而 μ 表示 m 的素因子个数。

   如果我们在和式  中将求和限制为有限项，那么 f(x) 的表达式的导数（忽略一个随 x 的增长而非常迅速递减的项）就成为

这给出了一个渐近表达式，它是关于不超过 x 的素数的密度，加上素数平方的密

度的一半，再加上素数立方的密度的三分之一，等等。

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-20 23:21，[笔记，科普，数学] 素数（130）：黎曼 1859 论文阅读笔记（9）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544463.html

[2] 2026-07-19 00:14，[笔记，科普，数学] 素数（129）：黎曼 1859 论文阅读笔记（8）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544203.html

[3] 2026-07-18 23:05，[笔记，科普，数学] 素数（128）：黎曼 1859 论文阅读笔记（7）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1544202.html

[4] 2026-07-17 00:30，[笔记，科普，数学] 素数（127）：黎曼 1859 论文阅读笔记（6）

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[5] 2026-07-16 23:29，[笔记，科普，数学] 素数（126）：黎曼 1859 论文阅读笔记（5）

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[6] 2026-07-15 00:35，[笔记，科普，数学] 素数（125）：黎曼 1859 论文阅读笔记（4）

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[7] 2026-07-14 23:01，[笔记，科普，数学] 素数（124）：黎曼 1859 论文阅读笔记（3）

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[8] 2026-07-13 23:04，[笔记，科普，数学] 素数（123）：黎曼 1859 论文阅读笔记（2）

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[9] 2026-07-12 23:11，[笔记，科普，数学] 素数（122）：黎曼 1859 论文阅读笔记（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543333.html

[10] 2026-07-11 23:11，[打听，科普，数学] 素数（121）：黎曼 1859 德文论文科学院出版版第 679 页里 μ 的含义‌

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543221.html

[11] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[12] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[13] 2026-07-01 15:44，[图片，科普，数学] 素数（111）：黎曼 1859年论文，柏林科学院正式刊出版（1860）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541778.html

[14] 2026-07-05 22:56，[留念，科普，数学] 素数（115）：千问的评论：关于默比乌斯函数 Möbius function 与素数之间的关系

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542347.html

[15] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541991.html

[16] 2026-06-28 00:41，[打听，科普，数学] 素数（108）：从黎曼 ζ 函数只能推导出 J(x) ？不能直接推导出 π(x) ？（实在看不懂）

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[17] 2026-06-25 23:31，[打听，科普，数学] 素数（105）：J(x) 与 π(x) 之间的关系（实在看不懂）

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[18] 2026-06-22 21:42，[打听，科普，数学] 素数（102）：计算 Möbius Function 之前必须先知道素数吗？

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[19] 2026-07-10 23:20，[打听，科普，数学] 素数（120）：素数计数函数 π(x)， 1948年 Selberg、Erdős 的公式

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543106.html

[20] 2026-07-09 22:24，[打听，科普，数学] 素数（119）：π(x)>Li(x), Skewes's number 斯奎斯数

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[21] 2026-07-08 23:07，[打听，科普，数学] 素数（118）：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？

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[22] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[23] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[24] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[25] 2026-06-03 19:15，素数全部博文网址（2026-03）三月份（28篇）

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[26] 2024-11-25 22:49，[留念，树犹如此，独怆然而涕下] 新一页：2024-11-25。Zenas 定理、公理、论题

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[27] 2022-01-19 14:31，[留念] Zenas 公理（Zenas axiom）：10年之后进入SCI

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