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[笔记，科普，数学] 素数（148）：欧拉 ζ(s) ，用 η(s) 表示出，以及 s 扩展为复数时的收敛域的变化
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为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。
—— 一位真正的大专家
图难乎其易也，为大乎其细也。天下之难作于易，天下之大作于细。
—— 《老子五千言》第63章
用清晰的思想代替盲目的计算。
Replacing blind calculations by clear ideas.
—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）
[笔记，科普，数学] 素数（148）：欧拉 ζ(s) ，用 η(s) 表示出，以及 s 扩展为复数时的收敛域的变化
非平凡零点： nontrivial zero
对数积分： logarithmic integral, Li(x)
默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)
欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function
欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function
欧拉乘积： Euler product
黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function
解析延拓： analytic continuation
素数计数函数： prime counting function , π(x)
素数定理： prime number theorem
黎曼假设： Riemann Hypothesis
默比乌斯函数： Möbius function
对数积分： logarithmic integral
算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic
一、欧拉 ζ(s) ，用 η(s) 表示出，以及 s 扩展为复数时的收敛域的变化
图1 欧拉原始实数函数 ζ(s) 的收敛域：实数 s > 1
图2
图3 该推导，适用实数收敛域 s > 1 ？
图4 实数函数（无穷级数） η(s) 的收敛域 s > 0
图5 这里 4处红色大括号的推导，严谨性？
图6 用 η(s) 表示出的实数级数 ζ(s)，为什么收敛域扩大到实数 s > 0 ？
图7 用 η(s) 表示出的实数级数 ζ(s)，收敛域扩大到 s > 0
图8 直接将 ζ(