[笔记，科普，数学] 素数（13）：希尔伯特问题里的“哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture”

希尔伯特问题： Hilbert's Problems

黎曼猜想： Riemann Hypothesis

哥德巴赫猜想： Riemann Hypothesis

哥德巴赫猜想： Goldbach conjecture, Goldbach's Conjecture

孪生素数猜想： twin prime conjecture

哈代-李特尔伍德猜想： Hardy-Littlewood Conjectures

哥德巴赫： Christian Goldbach, 1690-03-18 ~ 1764-11-20, 74

一、哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture

   Goldbach's original conjecture (sometimes called the "ternary" Goldbach conjecture):

   at least it seems that every number that is greater than 2 is the sum of three primes.

   哥德巴赫猜想（有时称为“三元”哥德巴赫猜想）：

   至少看起来每个大于2的数字都是三个素数的和。

   The "strong" or "binary" Goldbach conjecture:

   all positive even integers ≥ 4 can be expressed as the sum of two primes. 

   “强”或“二元”哥德巴赫猜想：

   所有 ≥4 的正偶数都可以表示为两个素数之和。

二、希尔伯特问题 Hilbert's Problems,David Hilbert's 24 Problems 

   1. The cardinality of the continuum, including well-ordering.

   2. The consistency of the axioms of arithmetic.

   3. The equality of the volumes of two tetrahedra of equal bases and equal altitudes.

   4. The straight line as shortest connection between two points.

   5. Lie's concept of a continuous group of transformations without the assumption of the differentiability of the functions defining a group.

   6. The axioms of physics.

   7. Irrationality and transcendence of certain numbers.

   8. Prime number theorems (including the Riemann hypothesis).

   9. The proof of the most general reciprocity law in arbitrary number fields.

   10. Decision on the solvability of a Diophantine equation.

   11. Quadratic forms with any algebraic coefficients.

   12. The extension of Kronecker's theorem on Abelian fields to arbitrary algebraic fields.

   13. Impossibility of solving the general seventh degree equation by means of functions of only two variables.

   14. Finiteness of systems of relative integral functions.

   15. A rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus.

   16. Topology of real algebraic curves and surfaces.

   17. Representation of definite forms by squares.

   18. The building up of space from congruent polyhedra.

   19. The analytic character of solutions of variation problems.

   20. General boundary value problems.

   21. Linear differential equations with a given monodromy group.

   22. Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions.

   23. The further development of the methods of the calculus of variations.

   [24.] The simplicity of proofs (omitted).

   不敢翻译！请您自行查找汉译。

   由于第 24问题“The simplicity of proofs 证明的简单性”提出后，又被希尔伯特自己删除了。上面给出的似乎是“希尔伯特问题”的原貌。

三、希尔伯特问题的手稿？

图1  希尔伯特第24问题的原始手稿？ rsta20180040-g1.jpg

https://cdn.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/blobs/fba6/6365847/da21925c4ccb/rsta20180040-g1.jpg

https://royalsocietypublishing.org/view-large/figure/19688045/rsta20180040f01.tif

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，希尔伯特问题

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=290951

   （8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。

   素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决。其中，哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1+2），而华人数学家张益唐在2013年在孪生素数猜想领域做出了突破性的贡献。

   黎曼猜想是数学中最重要的未解问题之一，由德国数学家伯恩哈德·黎曼于1859年提出。它断言黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部均为1/2，即这些零点均位于复平面的"临界线"上。该猜想与素数分布规律密切相关，其证明将极大推进解析数论的发展。目前克雷数学研究所将其列为千禧年七大难题之一，悬赏百万美元。

   哥德巴赫猜想是数论中著名的未解问题之一，由德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫于1742年提出。其表述为"任一大于2的偶数都可写成两个素数之和"。中国数学家陈景润于1973年证明了"1+2"的特殊情况（即大偶数可表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和），是该问题研究的里程碑。

   孪生素数问题 

   孪生素数是指相差2的素数对，如(3,5)、(11,13)。孪生素数猜想认为这样的素数对有无穷多。2013年，张益唐证明存在无穷多对素数，其间距小于7000万，引发后续突破，目前差距已缩小至246以内，但最终猜想仍未完全解决。

[2] 科普中国，2021-12-31，黎曼ζ函数

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=283245

[3] 科普中国，2021-12-31，希尔伯特－波利亚猜想

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=204533

   希尔伯特－波利亚猜想（英语：Hilbert–Pólya conjecture）是一个将谱论与黎曼猜想相联系的数学猜想。

[4] 科普中国，2021-12-31，哥德巴赫猜想的证明：解决难题的新进展

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=269924

[5] 科普中国，2025-02-26，哥德巴赫猜想

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=584186

   常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。1966年陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”。

[6] 科普中国，2026-02-22，哥德巴赫猜想（世界近代三大数学难题之一）

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=676260

   数论领域中通常将哥德巴赫猜想分为“强哥德巴赫猜想”（关于偶数）和“弱哥德巴赫猜想”（关于奇数）。其中，弱哥德巴赫猜想已于2013年由秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特（Harald Helfgott）完全证明，即任一大于5的奇数都可以表示成为三个素数之和。

   孪生素数猜想是关于素数分布的另一个核心猜想，其数学表述为：存在无穷多个素数p，使得p+2 也是素数。

   与哥德巴赫猜想关注素数之和不同，它关注素数之差。该猜想断言存在无穷多对孪生素数，即相差为2的素数对 (p,p+2)。例如(3, 5), (11, 13), (17, 19) 都是孪生素数。尽管数学家们普遍相信该猜想成立，并通过计算找到了极大的孪生素数对，但它至今仍是一个悬而未决的公开问题

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-16 23:18，[笔记，科普，数学] 素数（12）：孪生素数，孪生素数猜想，twin primes, twin prime conjecture

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526050.html  

[2] 2026-03-15 01:50，[笔记，科普，数学] 素数（11）：完全数 perfect number，梅森素数  Mersenne prime

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525790.html

[3] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[4] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[5] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[6] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[7] 2024-11-02 22:49，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458252.html

[8] 2013-07-23 11:51，孪生素数：相关介绍和链接

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-710546.html

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