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[笔记，科普，数学] 素数（20）：希尔伯特－波利亚猜想 Hilbert–Pólya conjecture

已有 127 次阅读 2026-3-28 20:36 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

[笔记，科普，数学] 素数（20）：希尔伯特－波利亚猜想 Hilbert–Pólya conjecture

希尔伯特－波利亚猜想： Hilbert–Pólya conjecture

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

希尔伯特： David Hilbert, 1862-01-23 ~ 1943-02-14, 81

波利亚： George Pólya, Pólya György, 1887-12-13 ~ 1985-09-07, 98

图1 波利亚 George Pólya, Pólya György, 1887-12-13 ~ 1985-09-07, 98

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https://brokenscience.org/wp-content/uploads/2024/05/GeorgePolya-768x961.jpg

图2 波利亚 George Pólya, Pólya György，Polya-BW-500x646.jpg

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G. Polya (1887–1985) was one of the most influential mathematicians of the twentieth century. His basic research contributions span complex analysis, mathematical physics, probability theory, geometry, and combinatorics. He was a teacher par excellence who maintained a strong interest in pedagogical matters throughout his long career. Even after his retirement from Stanford University in 1953, he continued to lead an active mathematical life. He taught his final course, on combinatorics, at the age of ninety.

G.波利亚（1887-1985）是二十世纪最有影响力的数学家之一。他的基础研究贡献涵盖了复杂分析、数学物理、概率论、几何和组合学。他是一位杰出的教师，在其漫长的职业生涯中一直对教学问题保持着浓厚的兴趣。即使在1953年从斯坦福大学退休后，他仍然过着积极的数学生活。他在九十岁时教授了最后一门课程——组合数学。

一、希尔伯特－波利亚猜想 Hilbert-Pólya Conjecture

The nontrivial zeros of the Riemann zeta function correspond to the eigenvalues of some Hermitian operator.

黎曼ζ函数的非平凡零点对应于某些厄米算子的特征值。

In a letter to Andrew Odlyzko, dated January 3, 1982, George Pólya said that while he was in Göttingen around 1912 to 1914 he was asked by Edmund Landau for a physical reason that the Riemann hypothesis should be true, and suggested that this would be the case if the imaginary parts t of the zeros.

【机器翻译】在1982年1月3日致Andrew Odlyzko的一封信中，George Pólya说，当他在1912年至1914年左右在哥廷根时，Edmund Landau问他黎曼假设应该成立的物理原因，并建议如果零的虚部t成立，情况就是这样。

二、波利亚：著作与名言

Pólya published further books on the art of solving mathematical problems. For example Mathematics and plausible reasoning (1954), and Mathematical discovery which was published in two volumes (1962, 1965).

波利亚出版了更多关于解决数学问题艺术的书籍。例如，《数学与合情推理》（1954年），以及分两卷出版的《数学发现》（1962年、1965年）。

Before going to the United States Pólya had a draft of a book How to solve it written in German. He had to try four publishers before finding one to publish the English version in the United States but it sold over one million copies over the years and has been translated in 17 languages. Schoenfeld described its importance in [24]:-

For mathematics education and the world of problem solving it marked a line of demarcation between two eras, problem solving before and after Pólya.

Pólya explained in How to solve it that to solve problems required the study of heuristic:-

The aim of heuristic is to study the methods and rules of discovery and invention .... Heuristic, as an adjective, means 'serving to discover'. ... its purpose is to discover the solution of the present problem. ... What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself.

He also gave the wise advice:-

If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it.

【机器翻译】在去美国之前，波利亚用德语写了一本名为《如何解决这个问题 John H. Conway; G. Polya, How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method , Princeton University Press, 1945.》的书。在找到一家出版商在美国出版英文版之前，他不得不尝试四家出版商，但多年来该书售出了100多万册，并被翻译成17种语言。Schoenfeld在[24]中描述了它的重要性：-

对于数学教育和问题解决世界来说，它标志着两个时代之间的分界线，即波利亚之前和之后的问题解决。

Pólya在《如何解决问题》一书中解释说，解决问题需要研究启发式：-

启发式的目的是研究发现和发明的方法和规则。…启发式，作为一个形容词，意思是“服务于发现”。 ...其目的是发现当前问题的解决方案。 .什么是好的教育？系统地给学生机会自己发现事物。

他也给出了明智的建议：-

如果你不能解决一个问题，那么有一个你能解决的更容易的问题：找到它。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，希尔伯特－波利亚猜想

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&ar_id=204533

希尔伯特－波利亚猜想（英语：Hilbert–Pólya conjecture）是一个将谱论与黎曼猜想相联系的数学猜想。

希尔伯特－波利亚猜想（Hilbert–Pólya conjecture）是一个将谱论与黎曼猜想联系起来的数学猜想。该猜想提出：黎曼ζ函数的所有非平凡零点的虚部，可能对应某个无界自伴算符（即厄米算符）的特征值。这一想法最早由数学家乔治·波利亚在1912–1914年间提出，并在1982年的一封信中正式记录。虽然尚未被证明，但它为通过物理和谱理论方法研究黎曼猜想提供了重要思路。

[2] 中国科学院理论物理研究所，2024-06-12，Doctor Curious 55：希尔伯特-波利亚猜想和XP模型简介

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU0NjQyNTY4Mw==&mid=2247505676&idx=1&sn=db192b1aa173d353c50921c00bdeca18&poc_token=HCGOx2mjd9-E8bqp_1HPqNk4qPGsAKPl98yNvqhr

希尔伯特-波利亚猜想(Hilbert–Pólya conjecture)认为，黎曼 ζ函数的非平凡零点与一个自伴算子的特征值相对应，从而将黎曼猜想这一数学难题与物理问题联系起来，通过谱论的途径来探讨黎曼猜想。

这里的 π(x) 是素数计数函数，这个函数的值表示小于等于 x 的素数的数量。

[3] 科普中国，2021-12-31，合情推理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=367183

所谓合情推理，就是一种比较自然的、合乎情理的，似乎为真的推理，它是根据已有的数学事实和正确的数学结论，或以个人数学经验（数学实验或实践）和数学直观进行推测而得到某些结果的一种推理，常表现为凭直观和联想、直观或直觉等非逻辑思维形式，通过观察、实验、归纳、类比，特殊和一般等方法直接获得某种数学结论。思维的非常规性（如跳跃性）、结论的或然性是其特色。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[2] 2026-03-26 22:15，[笔记，科普，数学] 素数（18）：希尔伯特 Hilbert 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527522.html

[3] 2026-03-25 14:50，[笔记，科普，数学] 素数（17）：庞加莱 Poincaré 几乎不研究素数？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527296.html

[4] 2026-03-24 19:25，[笔记，科普，数学] 素数（16）：高斯，除了算术基本定理、素数定理之外，对素数还有哪些看法？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527201.html

[5] 2026-03-20 14:20，[资料，科普，数学] 希尔伯特的第 8问题 prime number 英文版（1902年，美国数学会）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526604.html

[6] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一