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[笔记，科普，数学] 素数（18）：希尔伯特 Hilbert 几乎不研究素数？

已有 108 次阅读 2026-3-26 22:15 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

[笔记，科普，数学] 素数（18）：希尔伯特 Hilbert 几乎不研究素数？

希尔伯特问题： Hilbert's problems

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

希尔伯特： David Hilbert, 1862-01-23 ~ 1943-02-14, 81

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图1 希尔伯特 David Hilbert, 1862-01-23 ~ 1943-02-14, 81

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Hilbert's work in geometry had the greatest influence in that area after Euclid. A systematic study of the axioms of Euclidean geometry led Hilbert to propose 21 such axioms and he analysed their significance. He made contributions in many areas of mathematics and physics.

希尔伯特在几何学方面的工作对这一领域的影响仅次于欧几里得。对欧几里德几何公理的系统研究使希尔伯特提出了21个这样的公理，并分析了它们的意义。他在数学和物理的许多领域都做出了贡献。

一、希尔伯特的研究成果

希尔伯特的研究有：代数不变式问题，代数数域论，几何基础，狄利克雷原理与变分法，积分方程与无穷维空间理论，物理学（引力、统一场），数学基础等。

②代数数域论（1894~1890）。希尔伯特187年向德国数学会交的《数论报告》用新的统一的观点，将以往代数数论的知识融为一个整体。他抓住了互反律这中心，利用范数剩余记号将高斯古典互反律表示成简单优美的形式：Π_p(α‌/p)=1，从而猜测到高斯互反律的一般形式。这方面工作的顶峰，是他的论文《相对阿贝尔域理论》(1898)。在这一基础上，高木贞治、E.阿廷等人进一步发展为类域论。

同一时期，他还证明了数论中的华林问题(1909)。

二、希尔伯特第8问题

2.1 《中国大百科全书》词条“希尔伯特问题/Hilbert's problems”里的表述

素数问题。这问题可分为3个子问题：黎曼假设，未解决；哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等，未解决般；一般域的素数问题及有关猜想，一个重要成果是韦伊猜想，即有限域上代数簇的ζ‌函数的黎曼假设，在1973年由P.德利涅证明。

2.2 希尔伯特 1900年的原始表述

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1526604.html

黎曼猜想，哥德巴赫猜想，孪生素数，素数分布，互易定律，丢番图方程，二次型。

三、打听：希尔伯特几乎不研究素数？

尽管希尔伯特在数论（number theory）方面贡献不小，但他并没有直接研究素数？

只是将其列为“希尔伯特问题 Hilbert's problems”中的第 8 问题“素数问题 problems of prime numbers”？

参考资料：

[1] 2023-04-28，希尔伯特，D./David Hilbert/李文林，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]