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[笔记，科普，数学] 素数（17）：庞加莱 Poincaré 几乎不研究素数？

已有 197 次阅读 2026-3-25 14:50 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

[笔记，科普，数学] 素数（17）：庞加莱 Poincaré 几乎不研究素数？

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

庞加莱/彭加勒： Jules Henri Poincaré, 1854-04-29 ~ 1912-07-17, 58

Eloge de Poincare OIP-C (1).jpg

图1 庞加莱 Jules Henri Poincaré, 1854-04-29 ~ 1912-07-17, 58

出处忘了。感谢原作者和有关人员！

One of the greatest mathematicians and mathematical physicists at the end of 19th century. He made a series of profound innovations in geometry, the theory of differential equations, electromagnetism, topology, and the philosophy of mathematics.

19世纪末最伟大的数学家和数学物理学家之一。他在几何学、微分方程理论、电磁学、拓扑学和数学哲学方面进行了一系列深刻的创新。

Henri Poincaré was a mathematician, theoretical physicist and a philosopher of science famous for discoveries in several fields and referred to as the last polymath, one who could make significant contributions in multiple areas of mathematics and the physical sciences.

亨利·庞加莱是一位数学家、理论物理学家和科学哲学家，以在多个领域的发现而闻名，被称为最后一位博学家，他可以在数学和物理科学的多个领域做出重大贡献。

[M Poincaré was] a mathematician, geometer, philosopher, and man of letters, who was a kind of poet of the infinite, a kind of bard of science.

庞加莱是一位数学家、几何学家、哲学家和文学家，他是一位无限的诗人，一位科学的吟游诗人。

一、打听：庞加莱几乎不研究素数？

我搜索了《中国大百科全书》、《MacTutor》等，没有找到庞加莱在素数方面的研究结果。

打听：庞加莱几乎不研究素数？

二、复习：庞加莱名言

In 1908 he wrote:-

The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state.

1908年，他写道：-

预测数学未来的真正方法是研究它的历史和现状。

He wrote in Mathematical definitions in education (1904):-

It is by logic we prove, it is by intuition that we invent.

In a later article Poincaré emphasised the point again in the following way:-

Logic, therefore, remains barren unless fertilised by intuition.

他在《教育中的数学定义》（1904）中写道：-

我们用逻辑证明，用直觉发明。

在后来的一篇文章中，庞加莱再次强调了这一点：-

因此，除非直觉滋养，否则逻辑仍然是贫瘠的。

But to explain what "intuition" was in mathematics, Poincaré fell back on saying it was the part which did not follow by logic:-

... to make geometry ... something other than pure logic is necessary. To describe this "something" we have no word other than intuition.

但为了解释数学中的“直觉”是什么，庞加莱转而说这是没有逻辑的部分：-

…制作几何图形。……必须有纯逻辑以外的东西。要描述这个“东西”，我们只有直觉。

Talk with M. Hermite. He never evokes a concrete image, yet you soon perceive that the more abstract entities are to him like living creatures.

——Quoted in G Simmons Calculus Gems (New York 1992).

说起埃尔米特先生。他从不唤起具体的形象，但你很快就会发现，对他来说，更抽象的实体就像活生生的生物。

——引自G Simmons微积分宝石（纽约，1992年）。

Science is built up with facts, as a house is with stones. But a collection of facts is no more a science than a heap of stones is a house.

——La Science et l'hypothèse.

科学是建立在事实之上的，就像房子是用石头建造的。但事实的集合并不是一门科学，就像一堆石头是一座房子一样。

——《科学与理论》。

If geometry were an experimental science, it would not be an exact science. it would be subject to continual revision ... the geometrical axioms are therefore neither synthetic a priori intuitions nor experimental facts. They are conventions. Our choice among all possible conventions is guided by experimental facts; but it remains free, and is only limited by the necessity of avoiding every contradiction, and thus it is that postulates may remain rigorously true even when the experimental laws which have determined their adoption are only approximate. In other words the axioms of geometry (I do not speak of those of arithmetic) are only definitions in disguise. What then are we to think of the question: Is Euclidean geometry true? It has no meaning. We might as well ask if the metric system is true and if the old weights and measures are false; if Cartesian coordinates are true and polar coordinates are false. One geometry cannot be more true than another; it can only be more convenient.

——Quoted in M J Greenberg, Euclidean and non-Euclidean geometries: Development and history (San Fransisco, 1980).

如果几何学是一门实验科学，它就不是一门精确的科学。它将不断修订。因此，几何公理既不是综合的先验直觉，也不是实验事实。它们是惯例。我们在所有可能的惯例中的选择是以实验事实为指导的；但它仍然是自由的，只受避免每一个矛盾的必要性的限制，因此，即使决定其采用的实验定律只是近似的，公设也可能严格正确。换句话说，几何公理（我不说算术公理）只是伪装的定义。那么，我们应该如何思考这个问题：欧几里德几何是真的吗？这毫无意义。我们不妨问一下，公制是否正确，旧的度量衡是否错误；如果笛卡尔坐标为真，极坐标为假。一种几何形状不能比另一种更真实；它只会更方便。

——引自M J Greenberg，《欧几里德几何和非欧几里德几何：发展与历史》（旧金山，1980年）。

参考资料：

[1] 2025-03-15，庞加莱，H./Henri Poincaré/朱照宣，陆启韶，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=44256&Type=bkzyb&SubID=63597

法国科学家、哲学家。

1887年当选法国科学院院士。他的研究涉及数学、力学、物理学等学科领域，是法国科学院唯一横跨所有分组——几何学、力学、物理学、地学与航海学的院士。1906年当选法国科学院院长。1908年以作家身份（散文家）成为法兰西学院院士，这是法国作家的最高荣誉。

庞加莱博学多才，其自然科学著作由法国科学院汇编成《庞加莱全集》，共 10 卷，1951～1954 年出版。第1～3卷为微分方程定性理论和数学分析；第4卷为函数论；第5卷为代数和算术；第6卷为几何和拓扑学；第7卷为天体力学；第8卷为天体力学和天文学；第9卷为数学物理；第10卷为物理学问题。

[2] 2023-02-25，彭加勒，J.H./Jules Henri Poincaré/江天骥，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=113055&Type=bkzyb&SubID=99491

法国数学家、物理学家、科学哲学家。曾译庞加莱。

[3] 2023-08-12，庞加莱。J.-H./Poincaré, Jules-Henri/刘辽，李醒民，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=140621&Type=bkzyb&SubID=61860