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[图片，科普，数学] 素数（41）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之三

已有 144 次阅读 2026-4-21 16:59 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.

——Leonhard Paul Euler

事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

[图片，科普，数学] 素数（41）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之三

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

网上有不少对黎曼ζ函数（Riemann zeta function, Riemann ζ function）零点（zeros）数值计算的结果。陆续搜集汇总如下。

下面是 m-brella.be 和 math.stackexchange 里的一些数值计算结果：

Riemann Zeta Function, m-brella.be

图1 rimg2811.gif

http://www.m-brella.be/math/topics/RiemannZetaFunction_bestanden/rimg2811.gif

图2 rimg2812.gif

http://www.m-brella.be/math/topics/RiemannZetaFunction_bestanden/rimg2812.gif

图3 rimg2813.gif

http://www.m-brella.be/math/topics/RiemannZetaFunction_bestanden/rimg2813.gif

The Riemann zeta function is an extremely important special function of mathematics and physics that arises in definite integration and is intimately related with very deep results surrounding the prime number theorem. While many of the properties of this function have been investigated, there remain important fundamental conjectures (most notably the Riemann hypothesis) that remain unproved to this day. The Riemann zeta function ζ(s) is defined over the complex plane for one complex variable, and is conventionally denoted s (instead of the usual z) in deference to the notation used by Riemann in his 1859 paper that founded the study of this function (Riemann 1859). It is implemented in Mathematica as Zeta[s].

【机器翻译】黎曼ζ函数是数学和物理学中一个极其重要的特殊函数，它出现在定积分中，与素数定理周围的非常深入的结果密切相关。虽然这个函数的许多性质已经被研究过，但仍然有一些重要的基本猜想（最著名的是黎曼假设）至今仍未得到证实。黎曼ζ函数 ζ(s) 是在复平面上为一个复变量定义的，并且通常表示为s（而不是通常的z），这与黎曼在1859年的论文中使用的符号不同，该论文建立了对该函数的研究（Riemann 1859）。它在 Mathematica 中实现为 Zeta[s]。

图4 rimg2814.gif

http://www.m-brella.be/math/topics/RiemannZetaFunction_bestanden/rimg2814.gif

The plot above shows the "ridges" of |ζ(x+iy)| for 0<x<1 and 1<y<100. The fact that the ridges appear to decrease monotonically is not a coincidence, since monotonic decrease in fact implies the Riemann hypothesis (Zvengrowski and Saidak 2003; Borwein and Borwein 2003, pp. 95-96).

【机器翻译】上图显示了 0<x<1 和 1<y<100 时 |ζ(x+iy)| 的“脊”。脊似乎单调下降的事实并非巧合，因为单调下降实际上意味着黎曼假设（Zvengrowski和Saidak 2003；Borwein和Borwein 2003，第95-96页）。