Yet, in fact, as I shall show here with very good reasons, the properties of the numbers known today have been mostly discovered by observation, and discovered long before their truth has been confirmed by rigid demonstrations.

   ——Leonhard Paul Euler

   事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。

[图片，科普，数学] 素数（45）：黎曼ζ函数 log 在 Critical Line 附近的数值 Wolfram 仿真之二30

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function, π(x)

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

   网上有不少对黎曼ζ函数（Riemann zeta function, Riemann ζ function）零点（zeros）数值计算的结果。陆续搜集汇总如下。

   下面是 Wolfram 里的一些数值计算结果：

   它们是我在网上找到的一个程序制作的图片。感谢原作者和有关人员！

   我不太懂是什么意思。

   应该是用“Riemann Zeta Function near the Critical Line”。

-log(|ζ(z)|)

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-24 00:15，[笔记，科普，数学] 素数（44）：黎曼ζ函数前4个非平凡零点千位数值

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531844.html

[2] 2026-04-23 15:56，[图片，科普，数学] 素数（43）：黎曼ζ函数在 Critical Line 附近的数值 Wolfram 仿真之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531750.html

[3] 2026-04-22 17:12，[图片，科普，数学] 素数（42）：黎曼ζ函数零点与素数计数函数π(x)的 Wolfram 仿真之一 （关联：端点效应）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531595.html

[4] 2026-04-21 16:59，[图片，科普，数学] 素数（41）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之三

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531430.html

[5] 2026-04-20 21:26，[图片，科普，数学] 素数（40）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应之二

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1531246.html

[6] 2026-04-17 21:28，[笔记，科普，数学] 素数（37）：“黎曼假设/猜想”与素数计数函数 prime counting function

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530901.html

[7] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html

[8] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html

[9] 2026-04-11 16:49，[观察，科普，数学] 素数（31）：黎曼 Riemann 素数计数函数“端点效应 end effects”的两个特点

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529947.html

[10] 2026-04-10 16:28，[打听，科普，数学] 素数（30）：黎曼假设 Riemann Hypothesis 与 end effects 端点效应

—— 黎曼假设 Riemann Hypothesis、黎曼素数计数函数 Riemann Prime Counting Function，在进行数值计算时，也会遇到“端点效应 end effects”吗？这是“周期性分解”的共同问题吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529817.html

[11] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html

[12] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[13] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html

[14] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[15] 2026-04-19 20:34，[图片，科普，数学] 素数（39）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之二

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[16] 2026-04-18 21:05，[图片，科普，数学] 素数（38）：黎曼ζ函数 Riemann zeta function 的零点之一

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[17] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

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[18] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

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[20] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

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[21] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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[22] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

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[23] 2024-05-16，[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观

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[24] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

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[25] 2025-09-11 21:31，[打听，科普，资料] 莫拉维克 Moravec 的“人类能力景观图”及其更多的同类资料 （关联：“自然运算”）

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[26] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

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