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[答疑，讨论，备课] 逻辑严密性的相对性

已有 3067 次阅读 2023-2-24 16:33 |个人分类:本科生教学|系统分类:教学心得

[答疑，讨论，备课] 逻辑严密性的相对性

芝诺（爱利亚的）Zeno-of-Elea-雕像-11-zenone-orig_副本_副本.jpg

芝诺（爱利亚的）Zeno of Elea, 495 ~ 430

裁剪自： https://cdn.studenti.stbm.it/images/2019/02/08/zenone-orig.jpeg

https://www.studenti.it/zenone-e-i-paradossi-pensiero-filosofico-inventore-dialettica.html

虽然数学仍未建立在严格的基础之上，但20世纪30、40年代后，大部分数学家已不再关心数学基础的问题。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=456822&Type=bkzyb&SubID=137849

一、逻辑与推理

逻辑：研究推理有效性的学问。

作为研究如何区分正确推理和不正确推理的方法和原理的学问，逻辑长期被当作规范正确思维的科学，获得知识的工具。逻辑一般从推理形式的角度来研究推理的有效性问题。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=89210&Type=bkzyb&SubID=52011

推理：从若干命题（前提）得出一个命题（结论）的思维形态。

推理可分为演绎推理与非演绎推理两类。演绎推理的特点在于如果推理形式正确（有效）且前提都真，则结论必然真。非演绎推理主要是归纳推理，这是包含在归纳方法中的某些推理。归纳推理即使前提都真，结论也只有一定概率的真。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=135463&Type=bkzyb&SubID=104156

二、归纳推理与严密性

归纳推理即使前提都真，结论也只有一定概率的真。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=135463&Type=bkzyb&SubID=104156

三、演绎推理与严密性

3.1 哥德尔的说法

没有一个在特定分辨率层次上形成的知识系统，能够完全解释那个层次，必须具有一个高层元知识才能完全解释它。然而，当我们着手去构造这个更一般的元知识时，它也要求更高一层的元-元知识去解释它。

http://qikan.cqvip.com/Qikan/Article/Detail?id=1666201&from=Qikan_Search_Index

3.2 演绎证明的相对性

Any proof is relative, since it is based on certain unprovable assumptions.

任何证据都是相对的，因为它是基于某些无法证明的假设。

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Proof

四、几个例子：严密性的相对性，只有相对意义下的严密

4.1 数学，还没有公认的定义

但是，要给数学下一个定义，并不是那么容易的，特别是下一个大家能形成共识的定义，就更不容易。方延明的《数学文化导论》里，收集了数学的15个所谓的“定义”，其实是从不同角度来看数学。所以现在有些学者又认为，恩格斯的说法仍然有效，可以加几个字，说成：数学是在相当广泛的意义下研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

关于数学在科学中的位置，人们倒逐渐在形成共识。过去把科学分为自然科学、社会科学两大类，数学是自然科学里的一门，数、理、化、天、地、生都是自然科学。现在许多人认为，自然科学是以研究物质的某一运动形态为特征的，如物理、化学等都各有自己的运动形态作为研究对象，而数学是忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的，从而与理、化、生等不属于同一层次，不是自然科学的一种，而很像研究思维规律的哲学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。所以，现在有些著名科学家把科学分为自然科学、哲学社会科学和数学科学三大类。这种观点的自然延伸，认为数学不是一种理学，不应该放在理学院中，从而单独成立数学科学学院就成为顺理成章的事了。

http://news.nankai.edu.cn/zhxw/system/2006/09/02/000001026.shtml

4.2 数学的最基本概念“集合”，还没有公认的定义

An aggregate, totality, collection of any objects whatever, called its elements, which have a common characteristic property. "A set is many, conceivable to us as one" (G. Cantor). This is not in a true sense a logical definition of the notion of a set, rather it is just an explanation (because defining the notion means finding a generic idea to which the given idea belongs as a species; but a set is, unfortunately, itself a broad notion in mathematics and logic).

集合是任何物体的一个合计的、总体的对象汇集，这些对象称为其元素，具有共同的特性。“一个集合是很多的，我们可以想象为一个集合”（G.Cantor）。从真正意义上说，这并不是对集合概念的逻辑定义，而是一种解释（因为定义概念意味着找到一个通用概念，而给定的概念属于一个物种；但不幸的是，集合本身在数学和逻辑中是一个广义的概念）。

For a meaningful development of "naive" set theory such an explanation is quite sufficient, because for the mathematical theory it is only essential to define the relations between the elements of a set (or between the sets themselves), and not their nature. To describe sets which may be elements of another set, to avoid the so-called antinomies (cf. Antinomy) one introduces, for example, the terminology "class" . And then, speaking more formally, set theory deals with objects called classes (cf. Class), for which there is defined a relation of membership, and a set itself is defined as a class which is an element of some class.

对于“朴素”集合论的有意义的发展，这样的解释是足够的，因为对于数学理论来说，只需要定义集合元素之间的关系（或集合本身之间的关系），而不是它们的性质。为了描述可能是另一个集合的元素的集合，为了避免所谓的矛盾（参见反义词），我们引入了例如术语“类”。然后，更正式地说，集合论处理称为类（参见类）的对象，对于这些对象，定义了成员关系，集合本身被定义为某个类的元素。

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Set

五、演绎逻辑：哥德尔不完全性定理

Gödel incompleteness theorem:

A common name given to two theorems established by K. Gödel [1]. Gödel's first incompleteness theorem states that in any consistent formal system containing a minimum of arithmetic (+, ⋅,⋅, the symbols ∀,∃, and the usual rules for handling them) a formally-undecidable proposition can be found, i.e. a closed formula A such that neither A nor ¬A can be deduced within the system. Gödel's second incompleteness theorem states that if certain natural completeness conditions are met, one can take this formula A to be the formula which expresses the consistency of the system. These theorems indicated the failure of Hilbert's program on the foundations of mathematics, which expected a full formalization of all existing mathematics, or at least of a substantial part of it (Gödel's first incompleteness theorem proved that this is not possible), and attempted to justify the resulting formal system by a finite demonstration of its consistency (Gödel's second incompleteness theorem showed that even if all the tools of formalized arithmetic are considered to be finitary, this is still insufficient to prove the consistency of arithmetic).

K.Gödel[1]建立的两个定理的共同名称。哥德尔的第一个不完全性定理指出，在任何包含最小算术（+，·，符号∀，∃，以及处理它们的常用规则）的一致形式系统中，都可以找到一个形式上不可判定的命题，即一个封闭的公式A，使得系统中既不能推导出A，也不能推导出¬A。哥德尔的第二不完全性定理指出，如果满足某些自然完整性条件，可以将这个公式A作为表示系统一致性的公式。这些定理表明了希尔伯特在数学基础上的程序的失败，该程序期望对所有现有的数学进行完全形式化，或至少对其中的大部分进行形式化（哥德尔的第一个不完全性定理证明这是不可能的），并试图通过对其一致性的有限证明来证明所得到的形式系统（哥德尔的第二不完全性定理表明，即使形式化算术的所有工具都被认为是有限的，这仍然不足以证明算术的一致性）。

参考资料：

[1] 2022-01-20，逻辑/logic/周礼全、诸葛殷同撰杜国平修订，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=89210&Type=bkzyb&SubID=52011

研究推理有效性的学问。

[2] 2022-01-20，推理/inference；reasoning/诸葛殷同撰张建军，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=135463&Type=bkzyb&SubID=104156

从若干命题（前提）得出一个命题（结论）的思维形态。

[3] 2022-12-23，芝诺（爱利亚的）/Zeno of Elea/常旭旻，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=420534&Type=bkzyb&SubID=102003

这四个悖论式的证明分别是运动场悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论、相向运动队列的一倍时间等于一半时间悖论。

[4] 2022-01-20，悖论/paradox/诸葛殷同、张尚水撰张建军修订，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=23544&Type=bkzyb&SubID=104156