人类在认识自然规律的进程中，一直用“确定论”的观点来认识客观世界。牛顿力学用线性微分方程描绘了一个确定性的世界图景，在这一图景中，世界是有序、精确和简单的。法国数学家拉普拉斯曾经断言：只要知道初条件就可以决定未来的一切。

1903年，庞加莱在研究太阳、月亮和地球三者之间的相对运动时，发现确定性的方程会产生不确定的结果（混沌），使“确定论”认识客观世界的方式受到了挑战。

随着人们对自然现象的深入研究，发现客观世界的本质是非线性的，线性系统只是对非线性现象的近似描述。因此，当代科学的前沿研究已从线性科学转向非线性科学（Nonlinear Science），以混沌学、分形几何和孤立子理论为主体的非线性科学相继问世，改变了人们对现实世界本质及运动规律的认识。混沌学与相对论、量子力学一起被誉为20世纪的三大科学革命，甚至有人预言混沌学将主导21世纪的科学。

非线性科学是研究非线性系统和非线性现象普遍规律的一门交叉科学。目前非线性科学的研究对象是非线性系统在确定性输入作用下，系统输出的特征及规律（图1）。

图1 非线性科学研究对象

非线性科学中的混沌在时间尺度上反映了非线性系统的输出随时间的演变过程，分形则在空间尺度上反映了非线性系统输出的几何特征。

非线性科学中的孤立子是一类由于非线性作用而引起的横波，它在运动过程中能经历交互作用而保持形状、速度不变，具有惊人的有序性（图2）。

图2 孤立子

现有非线性科学研究的是非线性系统在确定性的输入激励下所产生的随机运动状态，这种混沌现象是在没有任何外部随机干扰因素的情况下出现的，因此产生随机性的根源只能在系统自身，即非线性系统内部自发的产生了随机性，称为内随机性混沌。

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，根据布朗运动定律，可直接写出布朗运动方程

式中的n(t)为布朗运动瞬时速度，是定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

上式仅在区间[0，t]对定义在[-∞，+∞]上的白噪声n(t)进行积分，因此布朗运动方程为非线性时变数学模型。

从信号与系统的角度看，布朗粒子的位移x(t)可看成是白噪声信号n(t)激励图3所示系统时产生的输出响应。

图3 布朗运动系统模型

布朗运动系统模型由开关和积分器两个元件串联而成，由于开关为非线性元件，其闭合过程随时间t而变化，因此布朗运动系统模型为非线性时变系统。

开关的作用是将定义在[-∞，+∞]上的白噪声输入信号从 [0，t] 区间上截断，积分器对白噪声截断信号进行积分运算并产生输出。

布朗运动系统模型的频域特性表明：布朗运动也是一种具有分形结构的混沌现象，但它与传统混沌现象的最大不同是，它是非线性系统在随机性的输入激励下所产生的随机运动状态（图4），因此产生随机性的根源在系统外部，可称为外随机性混沌。

图4 布朗运动系统模型及输出特性

布朗运动方程描述的混沌和确定性现象完全由随机性的输入而产生，因此，布朗运动方程的“外随机”性质揭示出了更为普遍的一种非线性系统运行机制。

在人类社会实践和自然界中，这种由“外随机”产生确定性的现象极为常见。任何在宏观尺度下看起来光滑平整的表面，在微观尺度下均为凹凸不平、轮廓变化毫无规则的随机表面，其数学模型与布朗运动方程完全相同。图5给出了抛光硅片和大海表面在宏观尺度和微观尺度下的观察结果。

图5 抛光硅片和大海表面在不同尺度下的观察结果

在计算机图形学领域，通常使用布朗运动曲线和曲面来模拟自然界的山脉轮廓和立体分形地貌。图6为布朗运动曲线模拟出的山脉轮廓，图7为二维布朗运动曲面模拟出的三维分形地貌图。

图6 布朗运动曲线模拟出的山脉轮廓

图7 布朗运动曲面模拟出的立体地貌

非线性系统的内随机和外随机特性对比见表1。

表1 内随机和外随机对比

  人类在社会实践和自然界中遇到的各种确定性现象均可由随机性噪声激励非线性系统而产生，因此布朗运动方程为人类认识非线性现象提供了全新的观念和全新的理论。布朗运动方程不仅为非线性科学提供了一种新的非线性系统“外随机”运行方式，而且也为非线性科学开辟了全新的“外随机”研究方向和研究领域，从而可使非线性科学更加系统全面地描述并揭示非线性系统和非线性现象的普遍特征及规律。

参考：

布朗运动的系统模型

从布朗运动方程的频域特性看“随机和确定”的统一

布朗运动的分形特征

布朗运动是一种“外随机”混沌现象