设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，根据“布朗运动瞬时速度为零均值不相关白噪声”的布朗运动定律，可直接写出布朗运动方程

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

上式仅在区间[0，t]对定义在[-∞，+∞]上的白噪声n(t)进行积分，因此布朗运动方程为非线性时变数学模型。

一、填补“质点随机运动学”空白

人类在自然界和社会实践活动中所遇到的各种运动大体可分为两大类：确定性运动和随机性运动。

牛顿力学和爱因斯坦狭义相对论均以质点作为研究对象，牛顿力学描述质点速度远小于光速时的确定性运动规律，而爱因斯坦狭义相对论则描述质点在高速运动时的确定性运动规律。

统计物理学虽然与质点随机运动相关，但由于宏观可观测物理量的性质只与大量微观粒子运动状态的统计规律有关，因此统计物理学的研究对象是大量质点组成的系统。

朗之万建立了单个布朗粒子的动力学方程，但通过对大量布朗粒子求统计平均，最后得出的也是描述大量布朗粒子集体行为的统计规律。

量子力学描写原子和亚原子尺度的质点随机运动规律，由于微观粒子具有波粒二象性，因此量子力学中的质点随机运动规律与宏观粒子（布朗粒子）的随机运动规律完全不同。

因此，描述宏观粒子随机运动规律的“质点随机运动学”在物理学理论中尚属空白。

从布朗运动方程出发，通过数学演绎推理方法建立起来的质点随机运动学（图1）不仅可揭示单个布朗粒子的随机运动规律，而且填补了物理学中的“质点随机运动学”空白，可为自然科学、工程技术和社会科学解决实际问题提供理论、方法及工具。

图1 质点随机运动学

 二、实现“随机运动和确定运动”的统一

在物理学近400年的发展历史中，物理学家一直在努力将各种不同的自然现象统一到一个物理模型或一个理论框架中。每当物理学家发现两种看似完全不同、甚至完全对立的事物，其实只是同一事物的两面时，都会改变了人们的思维方式，使人类对自然界及其运动规律的认识产生巨大的飞跃。

牛顿力学实现了地面运动和天上运动的统一，爱因斯坦狭义相对论实现了低速运动和高速运动的统一，但是，物理学尚未实现确定运动和随机运动的统一。

布朗运动方程将随机运动和确定运动这两种看似完全不同的运动统一到了同一个函数表达式（数学模型）中，实现了随机运动和确定性运动的统一。

布朗运动方程不仅可描述布朗粒子在微观尺度下的随机运动现象及规律，而且可描述布朗粒子在宏观尺度下的确定运动现象及规律（图2）。

图2 布朗粒子位移曲线

三、宏观测不准原理

微观世界有海森堡测不准原理（Uncertainty principle），宏观世界也存在测不准关系。

布朗运动方程揭示出了宏观确定性物理量在微观尺度下具有随机性这一自然规律（图3），因此观测宏观物理量时，即使测量仪器具有很高的测量精度，在测量过程中测量仪器也不对测量对象产生任何干扰，人们也不可能在微观尺度（精度）级别上精确测定出宏观物理量的准确值，也就是说，宏观确定性物理量在微观尺度上是不确定的（测不准），这也是所有可观测宏观物理量测量结果中，必然会存在随机测量误差的客观原因之一。

图3硅片和大海表面在不同尺度下的观察结果

海森堡认为微观测不准原理是因为测量手段与被测物体之间不可避免要发生相互作用，从而形成扰动，玻尔认为微观测不准原理的原因在于微观粒子的波粒二象性，而宏观测不准原理则是因为宏观物理量本身在微观尺度上就具有不确定性。

四、非线性物理学研究范围从“内随机”扩展到“外随机”

所有物理现象从本质上讲都是非线性的，线性只是非线性的特例，牛顿力学的线性微分方程只是对物质世界的近似描述。

1903年，庞加莱在研究太阳、月亮和地球三者之间的相对运动时，发现确定性的方程会产生不确定的结果（混沌），导致牛顿力学的线性研究方法受到严重挑战。

20世纪60年代以来，随着物理学对自然现象的深入研究，发现非线性问题已不是物理学中的个别特殊现象，而是力、热、光、电、原子物理和粒子物理等物理学的各个领域的普遍特性，因此逐步形成和发展出了以混沌理论、分形理论、耗散结构理论和孤立子理论为主体的非线性物理学。

现有非线性物理学主要研究非线性系统在确定性的输入激励下所产生的随机运动状态（图4），这种混沌现象是在没有任何外部随机干扰因素的情况下出现的，因此产生随机性的根源只能在系统自身，即非线性系统内部自发的产生了随机性，称为内随机性混沌。

图4 非线性物理学研究对象

布朗运动方程为非线性时变数学模型，布朗运动方程描述的布朗运动是一种具有分形结构的混沌现象，但它与传统非线性物理学的最大不同是，布朗运动现象是非线性系统在随机性的输入激励下所产生的随机运动状态（图5），因此产生随机性的根源在系统外部，可称为外随机性混沌。

图5 布朗运动系统模型及输出特性

人类在社会实践和自然界中遇到的很多确定性现象和混沌现象均可由随机性噪声激励非线性系统而产生，因此布朗运动方程将非线性物理学的研究范围从内随机扩展到外随机，为人类认识非线性现象提供了全新的观念和全新的理论，从而使非线性物理学更加系统全面地描述并揭示非线性现象的普遍特征及规律。

总之，布朗运动方程将改变物理学的世界观：随机并非无规则，确定一定测不准。

参考：

质点随机运动学与动力学（后印本）

实现“随机运动和确定运动”统一的布朗运动方程

从布朗运动方程的频域特性看“随机和确定”的统一