由基本概念、公理，以及从基本概念和公理推理出的逻辑结论这三者构成的公理系统，是具有普遍性、整体性、统一性、系统性和逻辑性的演绎数学知识体系。

公理系统能深刻揭示出客观事物的本质特征及普遍规律，以及数学知识之间的内在逻辑关系，便于人们掌握数学认知结构。

例如，欧几里得《几何原本》就是从点、线、面基本概念和公理出发，通过一系列演绎推理组成的著名公理系统，在数学史上被树为划时代的里程碑和光辉典范。

数学知识公理化是数学学科发展的终极目标，只有将本学科零散的知识用公理化方法构建为公理系统，才标志着该学科真正发展成为一门理性科学或成熟学科。

基本概念是反映研究对象本质特征的思维基本单元，如欧几里得《几何原本》中的点、线、面，公理则是描述基本概念数量关系或空间形式的基本判断。

欧几里得之前的《几何学》并没有点、线、面基本概念，也没有对应的公理，当时的《几何学》只是一堆关于长度、角度、面积和体积的测量及计算的零散经验知识和感性认识。

在科学研究中，只有抽象出反映研究对象本质特征的基本概念后，才能进行判断和推理。

推理具有从已知推出未知的重要特点，它是人们间接获取新知识、发现新规律和建立公理系统的重要逻辑方法。

因此，一门学科只有先形成基本概念和公理，通过演绎逻辑推理把学科知识构建为公理系统后，才能揭示出隐藏在复杂现象下面的本质特征和普遍规律。

基本概念的形成是认识过程中的一次重要飞跃，它标志着人们的认识由感性阶段深入到理性阶段，列宁在其《哲学笔记》中总结到：“自然科学的成果是概念”。

《随机过程》是研究随机现象数量关系的数学理论，但是至今仍未抽象出反映随机现象本质特征的基本概念和公理，因此无法借助于逻辑推理，发现隐藏在随机过程表面现象下面的本质特征及普遍规律。

没有基本概念和公理的《随机过程》教科书就像欧几里得之前的《几何学》，只是一堆零散的经验知识和初步知识，彼此之间没有逻辑关系，对随机现象的认识仍然停留在感性阶段，只能通过观察试验得到的数据，从数量化的角度来研究随机现象的统计规律。因此，《随机过程》实质上并不是一门理论科学，而是一门没有公理化的经验科学。

《随机信号分析》的研究对象是与《随机过程》完全相同的随机现象，但是工程师们已从多年的实践中，抽象和概括出了反映随机现象本质特征的基本概念——白噪声，并形成了自己的公理：随机信号是白噪声通过系统后的输出（图1）。

图1 《随机信号分析》公理

“系统”是指能对各种“输入信号”按一定规则进行加工、运算和变换，并产生相应“输出信号”的装置或算法。

设n(t)为白噪声函数，x(t)为随机过程样本函数，L[•]为代表某种数学运算的系统算子，如加法、乘法、微分、积分或微分方程等，则《随机信号分析》的公理可表示为

x(t)=L[n(t)]

例如，根据自然科学、工程技术和社会科学领域大量的“布朗运动瞬时速度为白噪声”实验观测规律，立即可知布朗运动位移x(t)是白噪声n(t)通过积分器的输出，因此有

上式既是《随机信号分析》教科书中的布朗运动定义，也是写进IEEE647-2006国际标准和GJB2426A-2004国军标的陀螺随机游走数学模型。工程师们根据该模型可实时补偿惯性陀螺仪中的随机游走误差，成功地解决了飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹等航行体的精确导航和精确制导问题。

因此，《随机信号分析》只需从基本概念和公理出发，就可演绎推理出各种随机现象在时域、频域的本质特征及普遍规律。

与具有高度抽象性和严谨逻辑性的数学家相比，工程师建立的《随机信号分析》已经发展成为一门理论科学，而数学家建立的《随机过程》仍然没有抽象出反映随机现象本质特征的基本概念，始终停留在感性认识和经验科学阶段。

数学知识公理化是数学学科发展的终极目标，也是一个数学学科发展成为理性科学或成熟学科的典型标志。因此，至今还没有抽象出基本概念和公理的《随机过程》学科，将面临《随机过程》理论公理化的重大发展机遇。

将《随机过程》教科书用公理化方法重新建构为系统化和逻辑化的公理系统，从经验知识上升到理性知识，不仅可揭示随机过程的本质特征和普遍规律，有利于人们学习和掌握《随机过程》教科书内容，同时也为中国的数学学科进入世界一流水平前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

[1]随机运动理论中的“地心说”与“日心说”

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459406.html 

[2]为什么《随机过程》无法用解析式描述随机现象？ 

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1461460.html 

[2]驱动《随机过程》范式转换的四个反常现象

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1438435.html