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1972年...代数几何和表示论的合作开始增加,导致了自守形式理论和Langlands纲领的发展*。
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(接上回*)Lemma 3.2. Assume that Theorem 1.6 holds in dimension ≤ d and that Theorem 1.1 holds in dimension ≤ d - 1. Then Theorem 1.4 holds in dimension d.
评注:由“花费控制定理”(全维度)和主定理(欠维度)证明“小花费定理”(当前维度)。
评论:上回遇到这个“跳点”,希望能深入其证明。(此引理的证明有两大段“Pick...Since...”,占有篇幅约0.8页)。
Proof.
Pick eps' ∈ (0, eps). Let (X, B), A = - (Kx + B) be as in Theorem 1.4 in dimension d and pick L ∈ |A|R.
取eps' ∈ (0, eps). 令 (X, B), A = - (Kx + B) 如定理1.4,维度为d,并取 L ∈ |A|R.
注:eps'的取法暗含了不等式 eps'<eps,留心用到。
Let s be the largest number such that (X, B + sL) is eps'-lc.
令 s 为最大值,使得(X, B + sL) 是 eps'-lc的.
疑问:s是否一定存在?why?
It is enough to show s is bounded from below away from zero. In particular, we may assume s<1.
只须证明 s 存在正的下界。特别地,不妨设 s <1.
注:s 对应于 (X, B + sL) 是 eps'-lc,而定理1.4 的结论是 sup {t| (X, B+tL) is lc for every L∈|A|R} 存在正下界。
Replacing X with a Q-factorialisation, we can assume X is Q-factorial.
用 Q-factorialisation 替换 X,不妨假设 X 是 Q-factorial. (注:A normal variety is -factorial* if every -Weil divisor is -Cartier.)
注:这个来的很突然,可能是常规手法,也可能是特创手法(简称:Q-factorial替换法)。
There is a prime divisor T over X, that is, on birational models of X, with log discrepancy
a(T, X, B + sL)= eps'.
存在X上的素除子T,即定义在 X 的双有理模型上,并具备 log discrepancy
a(T, X, B + sL)= eps'.
疑问:看不出如何推导。Q-factorial 起到什么作用?
If T is not exceptional over X, then we let phi: Y --> X be the identity morphism. But if T is exceptional over X, then we let phi Y -- > X be the extremal birational contraction which extracts T.
如果 T 不在X上 exceptional,则令 phi: Y --> X 为恒等态射。但如果 T 在 X 上 exceptional,则令 Y --> X 为极值双有理收缩,用来提取 T.
注:这个来的突然,可视为(常规/特创)手法(简称:取态射,现成的或自创的)。
Let KY + BY = Φ*(Kx + B) and let LY = Φ*L. By assumption,
μTBY <=1-eps 但 μT(BY + sLY) = 1 - eps',
hence μT s LY >= eps - eps'.
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小结:引理3.2证明之第一段读写完毕。(待续)。
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研读这类大文章,识记的成分(比思考)要大得多,思考力提高甚微,暂时也谈不上受启发。这里没有你要去解决的问题,也不是从问题出发去探索答案,只是想了解/理解其中发生的事情。不管内容有多难,全都在那里了,谈不上探索/研究,顶多是探究式学习。这有点像从外墙攀爬大楼,主要是个力气活儿,“出溜下来、再爬上去”,跟遗忘做斗争。看来教科书中设置“习题”有一定的道理,可用做“思考的练习”、巩固所学内容。总之,研读文章只是个学习的过程...希望能吸收到营养、“拿到钥匙”...
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