概念是通过反映思维对象本质属性来指称思维对象的词项，如欧几里得《几何原本》中的点、线、面。

概念也是组成判断和推理的细胞（最小单位），人们只有在清晰界定概念内涵与外延的基础上，才能做出正确的判断和正确地进行推理。

“混淆概念”是指在同一思维过程中，误将一个概念当作另外一个完全不同的概念使用，或有意用一个概念偷换另一个概念，因而产生的违反同一律逻辑错误。例如在几何证明过程中，误把“点”当成“线”，或把“线”当成“面”。如果是有意识地、自觉地 “混淆概念”， 就是诡辩。

基本概念是科学理论对研究对象本质属性的抽象和概括，也是一种科学理论区别于其它科学理论的主要标志。如欧几里得《几何原本》中的点、线、面；《牛顿力学》中的质点、位移、速度和加速度，《随机过程》中的样本函数、随机变量和随机过程。

基本概念是科学理论的逻辑出发点。科学理论首先由基本概念形成基本假设，再由基本假设演绎推理出一系列的逻辑结论（图1）。因此，要保证科学理论的正确性和无矛盾性，必须要从明确基本概念开始。

图1 科学理论的结构

样本函数、随机变量和随机过程这三个《随机过程》基本概念之间的区别，就犹如点、线、面这三个基本概念之间的区别一样明显清晰。

但是让人难以置信的是，随机过程领域的专家学者们竟然长期混淆样本函数、随机变量和随机过程这三个基本概念，并在《随机过程》教科书中将随机变量当作样本函数使用，用随机变量的概率分布和统计参数来描述样本函数，这就如同数学家用面积来度量一条线段的长度一样荒唐，像物理学家用温度来描述一个分子的动能一样荒谬。

《随机过程》的研究对象为动态随机现象，如一个或大量粒子的随机运动过程。

《随机过程》理论的创立源于爱因斯坦1905年发表的布朗运动研究论文。爱因斯坦建立了描述大量布朗粒子集体行为的扩散方程，得出了布朗粒子在扩散过程中的浓度服从正态分布的结论。维纳1913年在英国剑桥大学留学时，在罗素的建议下阅读了爱因斯坦的布朗运动研究论文，对单个布朗粒子的个体行为产生了兴趣，开始研究“一个微粒所走曲线的数学性质”，为《随机过程》理论的建立奠定了基础。

对一个随机运动的粒子观察多次，或同时观察多个粒子的随机运动，会得到图2所示的一族时间函数曲线。因此，数学家对随机过程最初的定义是：随机过程（Random process）是一族时间函数的集合，并将每个时间函数定义为样本函数（Sample function），将所有时间函数在同一时刻的取值定义为该时刻的随机变量（Random variable）。

图2 随机过程是时间函数的集合

后来，数学家们为了利用《概率论》研究图1所示的随机过程，就仿照《概率论》的研究方法，把随机试验结果中的时间函数集合映射到样本空间（图3），将随机过程定义为Ω×T上的二元函数X(ω,t)。

图3 随机过程定义示意图

随机过程X(ω,t)有以下四种不同的情况：

（1）固定ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，描述某个粒子的位移随时间变化过程，记为x(t)。

（2）固定t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，描述所有粒子在t时刻的空间位置分布状态，记为X(t)。 

（3）固定ω，固定t，X(ω,t)是一个实数，表示某个粒子在t时刻的位移观测值。

（4）当ω和t同时变化时，X(ω,t)是一族依赖于样本空间的时间函数集合，或一族依赖于时间的随机变量集合。

因此，样本函数是对“单个粒子”运动过程的数学抽象，是描述“单个粒子”个体行为的数学概念；而随机变量是对“粒子集合”空间位置分布状态的数学抽象，是描述“所有粒子”集体行为的数学概念，样本函数和随机变量是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

令人大跌眼镜的是，随机过程领域的专家学者们竟然混淆了样本函数和随机变量这两个内涵与外延完全不同的基本概念，在《随机过程》教科书中用随机变量来描述一个粒子的个体行为，从而导致《随机过程》理论与客观事实不符，无法正确描述随机运动现象及规律。

以北大数院院长陈大岳教授和其负责编写的《应用随机过程》教材为例，说明随机过程领域的专家学者是如何混淆随机过程基本概念的。

陈大岳教授为了方便学生学习和理解《应用随机过程》教材内容，专门编写了配套的教材讲义，在讲义第一页（图4）对随机变量基本概念做了形象的解释和说明（图中画红线文字）。

图4 北大数院《应用随机过程》教材讲义

陈大岳教授对随机变量的解释如下（图4中画红线文字）：

（1）随机变量X可以被视为一个粒子；

（2）我们将随机变量等同于一个位于空间S中的粒子；

（3）粒子在空间S中运动的轨道便成为一个随机变量序列。

显然，陈大岳教授混淆了样本函数和随机变量这两个基本概念，将随机变量等同为样本函数，用描述大量粒子“集体行为”的随机变量来描述一个粒子的“个体行为”。

更让人目瞪口呆的是，《随机过程》教科书已经明确定义：随机过程是一族样本函数的集合，亦即大量粒子运动轨道的集合，而陈大岳教授却认为“随机过程（stochastic process）是一个运动的粒子”，将随机过程理解为一条随机轨道（图3倒数第四行）。

总之，随机过程领域的专家学者们长期混淆样本函数和随机变量这两个基本概念，在《随机过程》教科书中将随机变量当作样本函数使用，用描述大量粒子“集体行为”的随机变量来描述一个粒子的“个体行为”，从逻辑出发点就破坏了《随机过程》理论的客观真理性和逻辑完备性，导致《随机过程》理论无法正确描述单个粒子的随机运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

参考：

[1] 《随机过程》教科书与客观事实不符的两个根本原因

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1460282.html   

[2] 工程师与数学家的布朗运动理论对比

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1458528.html   

[3] 工程师的随机过程分析工具降维碾压数学家 

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459016.html   

[4]随机运动理论中的“地心说”与“日心说”

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459406.html