人类在自然界和社会实践活动中所遇到的物体运动形式可分为两大类：确定运动和随机运动。

牛顿和爱因斯坦已经建立了描述物体确定运动现象及规律的《牛顿力学》和《狭义相对论》，使人类对客观世界的认识产生了巨大的飞跃，《牛顿力学》和《狭义相对论》已成为人类探索自然现象及运动规律的两座科学高峰。

但是，对于随机运动现象及规律，在现有教科书中，却存在两种像托勒密“地心说”和哥白尼“日心说”一样对立冲突的科学理论：一种是数学家建立的《随机过程》布朗运动理论，另一种是工程师建立的《随机信号分析》布朗运动理论。

布朗运动是一种常见的随机运动，广泛存在于自然科学、工程技术和社会科学等领域中，例如悬浮在液体中的花粉微粒无规则运动、惯性陀螺仪中的随机游走误差、加工表面微观轮廓曲线和股票市场中的价格随机波动等。

由于数学家建立的《随机过程》布朗运动理论与客观事实不符，无法用来描述、分析并解决各种实际问题。因此，工程师们不得不抛弃数学家的布朗运动理论，而是根据实验观测规律，重新建立了《随机信号分析》布朗运动理论，并在航空、航天、航海和军事等领域获得了广泛应用，成功地解决了飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹等航行体的精确导航和精确制导问题。

本文指出了《随机过程》无法描述实际布朗运动现象及规律的两个根本原因：一是作者基本概念不清，混淆“随机变量”和“样本函数”这两个基本概念而导致研究对象发生变更；二是作者逻辑思维混乱，在逻辑推理过程中违反同一律而产生“偷换概念”逻辑错误。

一、科学理论的结构及特征

1、科学理论的结构

科学理论是反映自然现象（研究对象）本质特征及规律的系统化知识体系。

科学理论通常由三个基本要素构成：基本概念、基本假设，以及由这些基本概念和基本假设演绎推理出的逻辑结论（图1）。

图1 科学理论的结构

基本概念是科学理论中最基本的逻辑元素，是对研究对象最普遍、最本质的抽象和概括，也是一种科学理论区别于其它科学理论的主要标志。如欧几里得《几何原本》中的点、线、面；《牛顿力学》中的质点、位移、速度和加速度，《随机过程》中的随机过程、样本函数和随机变量。

基本假设是对基本概念数量关系或空间形式的全称判断，也称科学公理（不证自明的基本命题）或科学定律（用科学语言表述的对自然现象的规律性认识），是利用演绎推理方法构建科学理论的逻辑基础，例如，欧几里得《几何原本》中的公理和《牛顿力学》中的牛顿运动定律，均为科学史上著名的基本假设。

2、科学理论的两个重要特征

科学理论是反映人类对自然界本质特征及规律的系统化知识体系，是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统，因此，科学理论具有以下两个重要特征：

一是内容上的客观真理性。客观真理性是科学理论最本质的特征，它要求科学理论必须要正确地反映客观事物的本质及其规律性，从科学理论推出的可检验结论应该与客观事实相符。

数学理论是描述现实世界数量关系和空间形式的知识体系，其最本质特征也是客观真理性。被誉为“数学皇帝”的丘成桐教授在多个公开场合自豪地宣称：“没有一个学科能像数学一样，对世界的描述经得起时间考验”。

图2 丘成桐教授

二是结构上的逻辑完备性。科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，为了确保科学理论的确定性、明确性和无矛盾性，演绎推理时必须要遵守逻辑思维的基本规则：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。科学理论内部不能出现自相矛盾的悖论，或在逻辑上不能自洽。

二、基本概念不清

《随机过程》教科书在随机过程定义中，给出了构建《随机过程》理论体系的两个基本概念：样本函数和随机变量。

图3为随机过程（Stochastic Process）定义示意图。随机过程是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t) 。固定样本点ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数（sample function）或样本轨道（sample path），记为x(t)；固定时间t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量（random variable），记为X(t)。显然，随机过程是一族样本函数或样本轨道的集合。

图3 随机过程定义示意图

从图3的随机过程定义示意图可以看出，样本函数是固定ω时的随机过程X(ω,t)，用来描述一个质点在不同时刻的位置（个体行为）；而随机变量是固定t时的随机过程X(ω,t)，用来描述所有质点在同一时刻的位置（集体行为），因此，样本函数和随机变量是两个内涵与外延完全不同的两个数学概念。

让人匪夷所思的是，《随机过程》教科书的作者竟然基本概念不清，在教科书中混淆了样本函数与随机变量的区别，用描述“质点集体行为”的随机变量代替了描述“质点个体行为”的样本函数，使《随机过程》的研究对象发生了变更，导致《随机过程》的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到颠覆性破坏。

以北大数院《应用随机过程》教材讲义的第一页（图4）为例，分析说明《随机过程》作者“基本概念不清”的问题。

图4 北大数院《应用随机过程》教材讲义第一页

《应用随机过程》作者在教材讲义中对随机变量的解释如下（图4中画红线文字）：

（1）随机变量X可以被视为一个粒子；

（2）我们将随机变量等同于一个位于空间S中的粒子；

（3）粒子在空间S中运动的轨道便成为一个随机变量序列。

显然，《应用随机过程》的作者没有搞清样本函数和随机变量这两个基本概念之间的区别，用描述大量粒子“集体行为”的随机变量来描述一个粒子的“个体行为”。

另外，《随机过程》教科书明确定义：随机过程是一族样本函数或样本轨道的集合，但是北大数院《应用随机过程》的作者却“将随机过程理解为一条样本轨道（图4倒数第四行）”。

三、逻辑思维混乱

数学理论是从基本概念和基本假设出发，按照逻辑推理基本规则推导出的一系列命题和结论。为了确保数学理论的确定性和无矛盾性，在进行推理时必须要遵守逻辑思维的基本规则——同一律。

同一律是指在同一推理过程中，所使用的概念必须要始终保持同一。如果在推理过程中用一个完全不同的概念去代换原有概念，就会产生违反同一律的“偷换概念”逻辑错误，导致推出的结论在逻辑上不能自洽，并与客观事实不符。

任何推理都由前提和结论两部分组成。前提是已知的判断，是推理的出发点和根据；结论是由前提推出的新判断，是推理过程的结果。

下面以《随机过程》布朗运动理论的正态分布基本假设推理过程为例，分析说明《随机过程》作者的“逻辑思维混乱”问题。

《随机过程》作者首先假设布朗粒子在t时刻的位置x(t)是t的连续函数，因此，在推理的前提中，x(t)是时间t的连续函数。

《随机过程》随后把[0，t]时间区间n等分，将x(t)表示为n个时间函数增量之和：

x(t) = ∆x₁ + ∆x₂ + … + ∆x_n

为了利用“独立同分布随机变量之和的极限分布为正态分布”的中心极限定理，《随机过程》作者用“n个独立同分布（i.i.d.）随机变量之和”替换了“n个时间函数增量之和”，从而推出了如下的结论（布朗运动基本假设）：

x(t)～N(0,σ²t)

显然，《随机过程》的作者逻辑思维混乱，为了利用中心极限定理，在推理过程中没有保持x(t)的概念同一，竟然将x(t)从“t的连续函数（样本函数）”偷换为“服从正态分布的随机变量（ω的函数）”，产生了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误，导致研究对象从“单个布朗粒子”变更为“布朗粒子集合”。

数学史上最著名的违反同一律“偷换概念”逻辑错误出现在牛顿创立的《微积分》理论中。牛顿首先假设增量∆x≠0，然后在推理和证明过程中又随意令∆x=0，产生了著名的“贝克莱悖论”，引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻。

英国大主教贝克莱（Berkeley）严厉批评牛顿是有意识地“偷换概念”，《微积分》理论是“分明的诡辩”，并指出“逻辑错误不会产生科学”。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除《微积分》中违反同一律的“偷换概念”逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了《微积分》中的“偷换概念”逻辑错误和“贝克莱悖论”，解除了数学史上的第二次危机。

四、结论

《随机过程》作者“基本概念不清”和“逻辑思维混乱”的问题，导致《随机过程》布朗运动理论基本假设隐含了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误，从逻辑出发点就破坏了布朗运动理论的客观真理性和逻辑完备性，无法正确描述实际布朗运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。因此，《随机过程》布朗运动理论会像托勒密“地心说”被哥白尼“日心说”代替一样，必然会被《随机信号分析》布朗运动理论所替代。

参考：

[1]工程师与数学家的布朗运动理论对比

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1458528.html   

[2]随机运动理论中的“地心说”与“日心说”

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459406.html   

[3]工程师的随机过程分析工具降维碾压数学家

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459016.html