布朗运动是一种广泛存在于自然科学、工程技术和社会科学等领域中的随机运动现象，如悬浮在液体中的花粉微粒无规则运动、惯性陀螺仪中的随机游走误差和股票市场中的价格随机波动等。

但是，在现有教科书中，却存在两种相互矛盾对立的布朗运动理论。一种是数学家基于“布朗运动位移服从正态分布”的基本假设建立的《随机过程》布朗运动理论，另一种是工程师基于“布朗运动瞬时速度为白噪声”的实验规律建立的《随机信号分析》布朗运动理论。

一、布朗运动位移及瞬时速度观测结果

图1为一个布朗粒子的位移和瞬时速度实验观测曲线。

图1 布朗粒子位移和瞬时速度曲线

实验结果表明：

（1）布朗运动位移x(t)不服从正态分布，x(t)是功率谱密度与频率的平方成反比的红噪声（Red Noise）；

（2）布朗运动瞬时速度（导数）为服从（0，σ²）正态分布的白噪声（White Noise）。

自然科学、工程技术和社会科学领域对各种布朗运动瞬时速度实验观测的结果表明：布朗运动的瞬时速度为白噪声（图2），布朗运动的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。

图2 各种布朗运动的瞬时速度观测结果

二、两种布朗运动理论对比

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，n(t)为平均功率为σ²的白噪声。

1、数学家的布朗运动理论：

数学抽象：x(t)为随机变量；

基本假设：位移x(t)服从正态分布，即x(t)～N（0，σ²t）

逻辑结论：位移x(t)处处不可导（瞬时速度无穷大或不存在）

实验检验：基本假设和逻辑结论均与图1和图2所示的布朗运动实验观测结果不符。

应用效果：无法正确描述实际布朗运动现象及规律，在金融市场广泛应用时，导致B-S期权定价公式成为造成1987、1997和2007年三次重大金融危机的罪魁祸首。

2、工程师的布朗运动理论

数学抽象：x(t)为时间函数；

基本假设：瞬时速度为白噪声，即dx/dt=n(t)， n(t)～N（0，σ²）；

逻辑结论：

式中P_x(ω)为位移x(t)的功率谱密度（Power Spectral Density）。

实验检验：基本假设和逻辑结论均与图1和图2所示的布朗运动实验观测结果相符。

应用效果：已在航空、航天、航海和军事等领域获得了广泛应用，成功地解决了飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹等航行体的精确导航和精确制导问题，布朗运动位移数学模型已写进《IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros（IEEE 647-2006）》国际标准和中华人民共和国国家军用标准《光纤陀螺仪测试方法（GJB2426A-2004）》。

图3 工程师与数学家的布朗运动理论对比

三、结论

数学家的布朗运动理论与客观事实完全不符，不能描述实际的布朗运动现象及规律，更无法解决自然科学、工程技术和社会科学领域的实际问题。因此，就像哥白尼的“日心说”替代托勒密的“地心说”一样，数学家的布朗运动理论必然会被工程师的布朗运动理论所替代。

参考：

[1] 教科书中两种对立冲突的布朗运动理论及实际应用效果

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1458326.html   

[2] 一场教科书式的科学革命即将来临

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1434734.html