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...研究数学对象如何相对地互相表现*。

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（接上回*）来完成昨天留的“作业”：温习所提定理的表述。

1. 定理 2.10 的表述：若 X 是 eps-lc weak Fano，则 |-mKx| 形成一个双有理映射（其中m为某个自然数）。

简记：XEWF ~> |-mKx|bm（做卡片）。

评论：定理的意思是，“标配”的 X “自带” 一 个 “天然的” 双有理映射。

特注：此定理的条件跟定理1.1 几乎 一 致（这里没说 X 是 projective），而后者的证明（第二段）以引用此定理开始，意味着 双有理映射 |-mKx| 扮演重要角色。 

2. 定理 2.11 的表述：若 X 是 eps-lc weak Fano，则 vol(-Kx) ≤ v 且 {X} 双有理有界（v 是 一 个数值）。

简记：XEWF ~> vol(-Kx) ≤ v 且 {X}bb（做卡片）。

评论：“标配”的X 蕴含有限“副”体积 且 {X} 双有理有界。

特注：此定理假定定理1.1在d-1维成立（显然是为归纳法做准备），表述是对d维而言的。

3. 定理 2.13 的表述：若 射影配对(X, B) 满足 lc、变单、Fano type、负nef，则有 mn-complement Kx + B+ （B+ ≥ B）.

简记：(XKWF, BΦ(lR))lc ~ -(Kx + B)nef ==> mn(Kx + B+)。

评论：此定理意在构造条件来获得倍增补。四个条件分别对应：配对、边、簇、扩副。

注：lR是有理单散集，Φ(lR) 是有理变单集。“变单” 指 B∈Φ(lR)。

疑问：X 是 Fano type 且 (X, B) 是 lc的，是否矛盾？ （只能从证明中去看）。

特评：定理涉及四个“变量”：配对、边、簇、扩副，并对它们配置参数（“调参数”）。显然，“边”的配置很奇特、绝难想到。（其余三个变量的配置变数稀少，从而不算难）。

4. 定理 2.15 的表述：{ X } 有界，若 KWF、m-complement、双有理、副体积、klt 配对系。

简记：KWF + 4Kx ~> { X }b。

评论：定理围绕主集合和副集合“调制”出 “1+4” 条件。（此定理是定理1.1证明的主要成分）。

5. 定理 1.4的表述：若 (X, B) 是 eps-lc weak Fano，则 lct(X, B, |A|R) 有正的下界（A:= -(Kx+B)）。

简记：EWF ~> lct ≥ t。

评论：由扩副构成的|A|R，可看做配对(X,B) 自带的“大内”。（此定理使得定理2.15的“klt配对系”成立）。

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转头来理解定理1.1的证明（第二段）

By Theorems 2.10 and 2.13, there is a natural number m depending only on d, eps such that |-m Kx'| defines a birational map and such that Kx' has an m-complement. Moreover, by Theorem 2.11, vol(-Kx') is bounded from above.Now, boundedness of X' follows from Theorem 1.4 in dimension d and Theorem 2.15.

评论：根据证明的第一段（见原文 p.31），X' 是 “eps-lc weak Fano variety”（即 EWF），由定理2.10，X' 有自带的双有理映射 |-mKx'|。接着，Kx' 有 m-complement（疑问1）。由定理2.11，vol(-Kx') 存在上届。然后，由定理1.4（d维）和定理2.15，证得X'有界（疑问2）。

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小结：留了几个疑问（待相关概念和定理表述更熟识后再推敲）。

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