博文
◆ 三次方程的启发
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从眼前出发引入变化...
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为了求解一般的三次方程，可以先做一些“外围”的考察。首先写出方程的一般形式：a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0，其中a1非零。简单起见，把最高次项的系数化为1，则有：
x^3+a2/a1x^2+a3/a1x+a4/a1=0。
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在求解三次方程的时代，似乎还没有正式提出代数基本定理，但可以假设三次方程在复数范围有三个根，从这个假设出发进行讨论。设这三个根为-r1, -r2, -r3。则有：
(x+r1)(x+r2)(x+r3)=0。
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对上式展开，得到：
x^3+(r1+r2+r3)x^2+(r1r2+r2r3+r1r3)x+r2r2r3=0
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通过对照系数，可以得到如下关系：
a2/a1=r1+r2+r3; 【三选一求和】
a3/a1=r1r2+r2r3+r1r3; 【三选二求和】
a4/a1=r1r2r3. 【三选三求和】
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可以感觉到其中有一定的规律。如果头脑中有“元学”观点，那么得到这个结果后，要用“元模式”去套一下——这里面出现了{r1, r2, r3}的全部“组合”，而且是自然而然的！这个根与系数的关系似乎就是所谓的“韦达定理”(?)，它的推导很简单，而且适用于任意的一元n次方程。它从一个元模式出发，“连接”到了另一个元模式。所谓规律，就是指某种不变性，也就是某种固定的模式。这里的“固定”是指“形”不变（但“状”可以有变化）。韦达定理给不出方程的解，但求出解后可以用它去快速验证。理论的高明之处就在于，它不解决问题，但依然能获得credits——甚至达成不朽。
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最近有时也考虑“智商”的事情。或许，智商高只是意味着头脑中内置的“元模式”更多一些，并且能够在各个元模式之间进行灵活的操作。比如，三次或n次方程本身可以看做元模式，如果把它们的系数做排列，就立刻引起变化，生出很多同次的方程，进而可以研究这些方程的根之间的关系*。这就是从眼前出发引入变化。
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昨天头脑中冒出一个潜意识气泡，也是从眼前出发引入变化。比如，最近考虑一个具体的三次方程：x^3-x^2-x-1=0。这个方程看似简单，实则很难求解。如果把它转化为更高次的方程会不会反而更容易求解呢？我喜欢这个想法。那个潜意识气泡是这样的：用整个方程的左端去替换x^3（中的x），接着用剩余的式子替换二次项（中的x），再接着用剩余的式子替换一次项（中的x），最后用常数项替换常数项，得到：(x^3-x^2-x-1)^3+(-x^2-x-1)^2+(-x-1)+(-1)=0。可以在这个方程上继续替换，得到更高次的方程。
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这是一个9次方程，不论它是否更易解，这种思路本身是有趣的。产生新方程的那种办法也可以看做一种“元模式”（有点像发散的“递归”或“套叠”），而这是从我自己的头脑中产生的想法。心理学告诉我们 —— 人们看不到自己，一切也就索然无味了；反之，人们看到自己，就会很兴奋—— 没有人会不喜欢自己。所以，为了提起兴趣，要设法把自己的元素融入到问题中，而这也是创新的原理之一 —— 每个人都是独特的。关键在于你是否尊重自己的独特性。
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当然，上面的想法是受到“替换”这个元模式的启发（还是被“罩”了）—— 《数学简史》里提到柯西曾在代数方程的上下文中考虑过“替换”和“排列”（两种元模式）。但他是怎么替换的，不得而知。接下来，可以考察替换后得到的高次方程的根与系数的关系，这就有点意思了。这里面还能引入其它类型的元模式。
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三次方程的困难使我产生了“解而不决”、“以题养题”这样的想法。我不知道自己能否解出它，但可以肯定：三次方程的求解要比学习狭义相对论困难得多。
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注：本文首发于群邮件[Graduate Gate..Saturday]，原标题“论变换”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1097252.html
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