[按：下文是邮件笔记的内容，标题又简化。]

“要有光。就有了光。”

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题记：刚才发出邮件笔记后，忽然有了想法。不着急写，坐在沙发上抽了一顿烟。又穿好衣服，走了一个街区，去吃了早饭。

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构造例子3.2的可能思路。原著提到“The next simplest example”，这是唯一的提示。回顾例子3.1，α(ξ)和β(ξ)都是常数，忽然想到 —— 要有变量。就有了变量。(此处指ν)。

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之前已经看到，α(ξ)=β(ξ)=2^-1/2e^iξ与常数情形是等价的，这是因为Q(e^iξ)容许相位因子e^iKξ。换句话说，为了让变量ξ出现，只有e^iξ还不够，但也暗示要有e^iξ。由于还不够，就考虑引入参数ν。

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接着，如果能想到分子和分母都出现ν，就接近答案了：为了让自由实参数ν安稳地出现在分母上，令分母为ν²+1是最简单的。

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分子上有e^iξ 和ν。由于要构造两个函数α(ξ) 和 β(ξ)，需要制造差异性。就有了ν-1 和 ν+1。

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现在，分子上有四个元素，试设计简单组合，对于ξ=0，结合分母ν²+1，要满足基本条件α(0) = β(0) = 2^-1/2。

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令 α(ξ) = 2^-1/2f(ν-1,ν,ν+1,e^iξ)/(ν²+1), β(ξ) = 2^-1/2g(ν-1,ν,ν+1,e^iξ)/(ν²+1)。则构造的目标是，对于ξ=0，使得 f(ν-1,ν,ν+1,eⁱ⁰)=g(ν-1,ν,ν+1,eⁱ⁰)=ν²+1。

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分子的四个元素，可能的简单分组之一为 {ν-1, ν}和{ν+1,e^iξ}，组内做乘法，各组相加，得：(ν-1)ν + (ν+1)e^iξ。对于ξ=0，有(ν-1)ν + (ν+1)=ν²+1。

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注意到ν-1和ν+1的对称性，把ν分配给ν+1，结果不变。

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事就这么成了。

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小结：以上提出了原著“徒手”构造例子3.2的可能思路。尽管如此，原著作者如何能够预见到，取ν=±1/√3，使得m₀(ξ)包含两个(1+e^iξ)因子的呢？又问，第三简单的α(ξ) 和 β(ξ) 构造是怎样的？(一个人围着模型练习和体会各种招数，是为"木人桩")。

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参考资料

例子(3.42)的验证 2024/7/24

例子3.1的验证  2024/7/20

三角因式之谜 2024/7/18

惊奇是一种能力 2024/7/14

原著、原著、原著... 2024/7/13

φ-计划之若干摘录 2024/7/10

小波分析与φ-计划 2024/7/8

多项式方程与高中数学 2024/6/20

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17

注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。