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◆ 治大题若烹小鲜

已有 1874 次阅读 2018-1-27 09:17 |个人分类:科学研究|系统分类:科研笔记

治大题若烹小鲜。
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《数学简史》中提到柯西曾在代数方程的上下文中研究过“排列”和“替换”问题,而这个事情出现在伽罗瓦理论之前。显然,排列、组合也都是元模式。“代数方程”听上去有点吓人,其实就是多项式求根问题。对此,首先要考虑的问题是:任意给定的多项式是否一定存在根?答案是——Yes & No。它取决于对系数和根的 —— 限制。如果把系数和根限制在复数范围,则答案不但是肯定的,而且很完美 —— (复数范围里的)n次多项式有n个根——这就是“代数基本定理”告诉人们的事实,最初由高斯给出(不完全的)证明。(顺带,限制也是个元模式)。
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遇到难题,最初一定会经历几番摸索和受挫,也会有束手无策之感。但是,想一想古代人,他们也没有太多的参考资料,唯一的办法只能是从四面八方进行持续不断的尝试。这样做了一段时间后,问题就进入了潜意识。大部分问题都是通过潜意识活动解决的。所谓灵感,可能就是潜意识释放的“气泡”。一般来说,总会有气泡释放出来,关键在于你是否尊重它们。解方程有点像下棋,根就是棋盘上的“王”。从另一个角度看,解题又是一场心灵的演绎,能够显化一些平时注意不到的事情。最后,解题又像对着木桩人练功,就好像在进行一场想象的搏斗。总之,不要急,小火慢炖,施用蘑菇大法,相信总能解开它。
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受到“排列”的提示,我先从二次方程出发:对系数进行排列,并考察解之间的关系。一元二次方程的一般形式为:a1x^2+a2x+a3=0。它的求根公式为:x=[-a2 +/- sqrt(a2^2-4a1a3)]/(2a1)。先把这个求根公式改写一下:
x=-a2/2a1 +/- sqrt[(a2/2a1)^2-a3/a1]。可以简单表示为 x~(a2/a1, a3/a1) := (A, B)。这样改写,可以把求根公式中(计算两个根)的10次操作减少到9次。这里的“操作”共有6种:加、减、乘、除、开方、取相反数。
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3个系数有6种排列,即有6组解:
(a1,a2,a3)~(A,B)
(a1,a3,a2)~(B,A)
(a2,a1,a3)~(1/A,B/A)
(a2,a3,a1)~(B/A,1/A)
(a3,a2,a1)~(A/B,1/B)
(a3,a1,a2)~(1/B,A/B)
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从这些结果中可以看到一些“表面规律”,但一般并不会减少计算量。不过,所使用的符号由3个变为两个,存储量减少了33.3%(算出A和B后,即可释放系数占用的空间)。忽然想到一个问题,什么情况下,排列系数后计算量会显著减少?也许是类似这种情况:a1=2, a2=2^2, a3=2^3。我推测,如果结合新的元模式,二次方程也可以玩的很现代,回头再考察这个事情。上面在二次方程的框架下,考察了(系数的)排列,这相当于 —— 在一种元模式中引入另一种元模式。对于那些完全脱离实际的数学作品,用元模式的概念去“套”,似乎是有益的(帮助理解和发展)。
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关于二次方程暂时就讨论到这里。

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注:本文首发于群邮件[Graduate Gate..Friday],原标题“论解题”。(为避免过于频繁,群邮件暂时改为按周日分组投放)。



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