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◆ 治大题若烹小鲜
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治大题若烹小鲜。
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《数学简史》中提到柯西曾在代数方程的上下文中研究过“排列”和“替换”问题，而这个事情出现在伽罗瓦理论之前。显然，排列、组合也都是元模式。“代数方程”听上去有点吓人，其实就是多项式求根问题。对此，首先要考虑的问题是：任意给定的多项式是否一定存在根？答案是——Yes & No。它取决于对系数和根的 —— 限制。如果把系数和根限制在复数范围，则答案不但是肯定的，而且很完美 —— （复数范围里的）n次多项式有n个根——这就是“代数基本定理”告诉人们的事实，最初由高斯给出（不完全的）证明。（顺带，限制也是个元模式）。
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遇到难题，最初一定会经历几番摸索和受挫，也会有束手无策之感。但是，想一想古代人，他们也没有太多的参考资料，唯一的办法只能是从四面八方进行持续不断的尝试。这样做了一段时间后，问题就进入了潜意识。大部分问题都是通过潜意识活动解决的。所谓灵感，可能就是潜意识释放的“气泡”。一般来说，总会有气泡释放出来，关键在于你是否尊重它们。解方程有点像下棋，根就是棋盘上的“王”。从另一个角度看，解题又是一场心灵的演绎，能够显化一些平时注意不到的事情。最后，解题又像对着木桩人练功，就好像在进行一场想象的搏斗。总之，不要急，小火慢炖，施用蘑菇大法，相信总能解开它。
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受到“排列”的提示，我先从二次方程出发：对系数进行排列，并考察解之间的关系。一元二次方程的一般形式为：a1x^2+a2x+a3=0。它的求根公式为：x=[-a2 +/- sqrt(a2^2-4a1a3)]/(2a1)。先把这个求根公式改写一下：
x=-a2/2a1 +/- sqrt[(a2/2a1)^2-a3/a1]。可以简单表示为 x~(a2/a1, a3/a1) := (A, B)。这样改写，可以把求根公式中（计算两个根）的10次操作减少到9次。这里的“操作”共有6种：加、减、乘、除、开方、取相反数。
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3个系数有6种排列，即有6组解：
(a1,a2,a3)~(A,B)
(a1,a3,a2)~(B,A)
(a2,a1,a3)~(1/A,B/A)
(a2,a3,a1)~(B/A,1/A)
(a3,a2,a1)~(A/B,1/B)
(a3,a1,a2)~(1/B,A/B)
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从这些结果中可以看到一些“表面规律”，但一般并不会减少计算量。不过，所使用的符号由3个变为两个，存储量减少了33.3%（算出A和B后，即可释放系数占用的空间）。忽然想到一个问题，什么情况下，排列系数后计算量会显著减少？也许是类似这种情况：a1=2, a2=2^2, a3=2^3。我推测，如果结合新的元模式，二次方程也可以玩的很现代，回头再考察这个事情。上面在二次方程的框架下，考察了（系数的）排列，这相当于 —— 在一种元模式中引入另一种元模式。对于那些完全脱离实际的数学作品，用元模式的概念去“套”，似乎是有益的（帮助理解和发展）。
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关于二次方程暂时就讨论到这里。
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注：本文首发于群邮件[Graduate Gate..Friday]，原标题“论解题”。（为避免过于频繁，群邮件暂时改为按周日分组投放）。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1097050.html
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