Zmn-1182 薛问天: 不根据正规定义而是在字面含义上胡乱猜测，这是数学初学者常犯的错误，评一阳生《1181》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1181》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不根据正规定义而是在字面含义上胡乱猜测，

这是数学初学者常犯的错误，评一阳生《1181》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一、不存在【第无穷个自然数】，也不存在【第无穷次后继运算】。

1，关于自然数，可以由皮亚诺公理建立自然数的数学理论。在这个理论体系中，【后继运算】当然是沒有定义的原始数学概念，【后继运算】的确切含义由皮亚诺公理界定。

第一条公理：‌0是自然数。‌对后继运算的界定见第三条公理。

第二条公理：‌每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，‌即a'也是自然数。‌说明【后继运算】是自然数集合中的一个确定的一元函数。是映射。

第三条公理：‌0不是任何自然数的后继。‌说明这个映射不是满射。

第四条公理：‌不同的自然数有不同的后继。‌说明【后继运算】是单射。

第五条公理：‌‌归纳原理，‌即如果有一个数学性质在0上成立，‌并且对于任何自然数n，‌如果这个性质在n以及n的后继上成立，‌那么这个性质在所有自然数上成立。‌说明【后继运算】适用数学归纳原理。

在集合论中，可用一种特定的集合定义自然数。①空集是自然数，②若n是自然数，则n´=nU{n}是自然数，③所有的自然数都由①或②产生。显然在这个系统中，后继运算是由集合的运算n´=nU{n}定义的，它不是原始概念，它的含义是由定义中的集合运算确定的。当然可证集合论中定义的自然数及后继运算满足皮亚诺公理。

在逻辑推理规则中，推理正确只允许【有穷次】使用推理规则，这个规定中用到了【有穷次】。这个【有穷次】不是数学概念，当然也不是【原始数学概念】 ，它是逻辑概念。同其它的逻辑概念和规则一样，是人们通过实践认识到它的确切含义的。一阳生把逻辑上的【有穷次】看作是出自自然数的性质，当然不妥，犯定义自然数时循环定义的错误。因为是在自然数的定义中，用到了【有穷次】的概念。即命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，作为自然数的部分定义，其中的【有穷次】用的是逻辑上的概念。此命题是怎么由自然数的集合定义③推出的？③断定任何自然数可由①和②推出。这样的定义规则在逻辑上使用【有穷次】，就推出命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，所以说这里的【有穷次】就是逻辑上的【有穷次】。不是什么【为数学多增加原始概念】。

在自然数集合定义完成后。可以用自然数来定义【有穷集合】和【无穷集合】。【有穷集合】定义为能同某自然数表示的集合建立一一对应的集合，而且用此自然数定义为该有穷集合的基数。【无穷集合】定义为是非有穷集合的集合。可以在此基础上证明全体自然数集合是无穷集合。用反证法，假定全体自然数集合是有穷集合。那么全体自然数集合就同某自然数表示的集合建立一一对应，显然形成不了满射，由此推出矛盾，从而使命题得证。这即严格证明了自然数有无穷多个。

2，在自然数的数学定义确定后，关于自然数生成的动态过程的直覌说明，是在定义的基础上进行的。这和静态的定义是一致的，不能有任何矛盾。

一阳生问【当后继运算运算到哪个序数时，才能够遍历全部的自然数。请薛老师回答这个问题！】

提出这个问题说明一阳生对用序数来表达第几个元素的规律还不甚了解。我己讲清楚。〖尽管自然数有无穷多个，但自然数中并无【第无穷个自然数】的存在。只有在序型大于ω的集合，如Aω+1，...，A2ω等的集合中，才会有第ω个元素aω的存在。同样的道理，在自然数的生成过程中，用到了有无穷多次后继运算。即所有这些后继运算构成一个无穷有序集合，它的序型可由序数ω表示，但在这个有序集合中，並无【第ω次后继运算】，即并无【第无穷次后继运算】的存在。〗

也就是说尽管自然数有无穷多个，但是在自然数中并无【第无穷个自然数】，并无最后一个，或最大一个自然数。从而並不存在有这么一个自然数，当它是生成了以后，就生成了所有自然数。同理，也就是说尽管生成自然数的过程需要用无穷多个后继运算，但是在这些后继运算中并无【第无穷个后继运算】，并无最后一个，或最后一个用到的后继运算。从而並不存在有这么一个后继运算，当它扏行了以后，就遍历了所有的后继运算，生成了所有自然数。

3，一阳生先生说【薛老师不去证明该命题推不出【第无穷次后继运算的存在】，反而去做无用功，论证了【因为不存在第无穷个自然数，所以不存在第无穷次后继运算】。】

这怎么能是【无用功】呢？证明了在无穷多次后继运算中，不存在这个【第无穷次后继运算】。当然这就论证了你推不出【第无穷次后继运算的存在】。不存在当然推不出。

二，关于小球的运动。

一阳生先生承认半开区间[0,1)内所有点所构成的集合的存在。尽管这个集合中的所有点都是小于1的点，与1点之间都是有距离的。但开区间包括所有小于1的全部的点，没有剩余。要知道静态的开区间的点同小球运动时动态经过的点是一致的。把小球放在[0,1)中，小球经历的所有点，这些点与1点之间都有大于0的距离。但小球运动却可以遍历开区间中所有的点，没有遍历不到的点。

一阳生先生认为【小球在达到1点之前即距离不为0之前，遍历不了区间[0,1)中的所有点。】是没有道理的，要知道静态不变的开区间中的点，就是小球运动经历的点。它们没有区别，是完全一致的。

这个状态在时间空间上的存在是完全一致的，也就是说小球在半开区间的时间点上，经历了空间中半开区间中所有的点。在分析中精确到排除了端点，只考虑时间和空间中的半开区间中的点。要承认这是数学可以做到的精确描述。

三、关于极限定义。

一阳生对我上次提出的如下意見没有反驳。㸔来是认可了。既然认可了。就要确确实实照此去做。那就是，〖任何数学概念的确切含义，都是由它的数学定义所确定的。即使是没有定义的原始概念，它的含义也要由公理来界定。有些人在理解数学概念时不关心数学的严格定义，而是在数学名词的字面含义上胡乱猜测。这是数学初学者常犯的错误，〗希望一阳生先生不要犯这样的错误。

1、关于【当x趋向于x0时，f(x)的极限是A】的含义，只能根据它的定义A∧B来分析。它是有定义的数学概念，不是什么【原始概念】，说它是【原始概念】是错误的，因为它有严格的数学定义，即A∧B。不能对【趋向于】概念用【字面意义告诉我们其含义】，一阳生所说的什么【表达(特定方向的)运动性】，【含义是x向x0永不停歇的运动】，【与哲学中的绝对的永恒的运动相呼应】。这一切通过字面含义的猜想都是主观的错误的想法。关于极限概念的含义，只能根据它的定义A∧B来分析。其它都是错误的。

一阴生所说的【我说【趋向于】概念字面意义告诉我们其含义表达(特定方向的)运动性。如果给出定义，则是循环定义。所以只能认为是原始概念。】以及所说的【我说【x趋向于x0】的含义是x向x0永不停歇的运动。其含义具体由极限定义中的【函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义】和【趋向于】概念决定的。更进一步我把【x趋向于x0】与哲学中的绝对的永恒的运动相呼应。】

这些都是错误的。在A∧B的定义中没有【趋向于】这个概念，其中【邻域内有定义】绝推不出【永不停歇的运动】【永恒的运动】的含义。所有这些都是一阳生的主观猜想，在A∧B的定义中没有这些内容。

另外，我早已指出【当x趋向于x0时，f(x)的极限是A】，是个整体的极限概念。分不开，分不成两个独立的可赋真假的命题【x趋向于x0】和【f(x)的极限是A】。因为由定义A∧B只能说清楚【当x趋向于x0时，f(x)的极限是A】的整体含义，说不清分开来，什么是【x趋向于x0】和什么是【f(x)的极限是A】的含义。一阳生先生，你能根据定义A∧B分别说清它们含义吗？你所说的是根据字面所作的错误猜想，当然不能算数。

因而一阳生先生所说的【都是主、谓、宾词俱全，是标准的陈述句，是命题，可赋值真假。】全部不符合事实。因为你没有按它的数学定义来作解释，而是由它的字面含义所做的错误猜想。从字面上将其分开，做出的理解，当然不是【没有任何问题】。而是【清清楚楚明明白白】绝对不允许的。数学概念绝不能由字面含义来作解释，必须根据定义。既使没有定义的原始概念，也不能作字面上的解释，必须由公理来界定它的确切含义，如集合的确切含义就是由公理界定的，而不是由集合这两个字的字面含义所能确定的。

极限概念【当x趋向于x0时，f(x)的极限是A】的含义必须由极限的定义(即A∧B)来确定。这不仅仅是我们论证的结果，而且说明这个论证有充分坚实正确的依据，表明它有真正的说服力！

另外，定义的逻辑结构是当且仅当，即Φ⇔Ψ，对极限的定义就是A∧B⇔Ψ，其中的Ψ=【当x趋向于x0时f(x)的极限是A】，这完全没有问题，是正确的。

严格讲，我们所说的是Ψ=【当x→x0时f(x)的极限是A】。如果定义左极限或右极限，则Ψ+=【当x→+x0时f(x)的极限是A】；Ψ-=【当x→-x0时f(x)的极限是A】。同时，定义A∧B⇔Ψ 中相应的A∧B也要作适当的调整。改为A+∧B+和A-∧B-。即(A+∧B+)⇔Ψ+ 和(A-∧B-)⇔Ψ- 。这些内容并不影响Ψ是完整定义，不可分开。

2、一阳生认为定义的逻辑结构是Φ→Ψ而不是Φ⇔Ψ。这个看法是错误的。他之所以有这个错误的看法，是因为他担心在极限的定义中有Ψ→A∧B不成立。

确实如他所说，如果把A写成A=【函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b,x0+b)内有定义】，这里的b是一个具体的确定的b(或b´，b´´)。则完全可能有A∧B→Ψ成立，但Ψ→A∧B不成立。

追其原因，是由于A写得不对，少写了存在量词。如果把定义中的A改写成A=【存在一个b>0，使得函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b,x0+b)内有定义】，则就不存在这个不成立的问题，而是A∧B→Ψ和Ψ→A∧B都成立，即A∧B⇔Ψ成立。使问题得到完滿的解决。

一阳生对此似乎还没有想通，他说【这个存在的某个去心邻域，当然可以具体所指，如同函数f(x)可以具体所指一样，否则泛泛而谈如何能够具体应用极限定义解决问题。】

一阳生还可再想想。用存在b>0，和具体指出b来，这两者的不同。具体指出b来，当然可推出存在b>0成立。但是，存在b>0成立，并不能保证你具体指出的b一定成立。为什么在定义的A中要用存在量词而不用具体指出b。为什么对这样两种不同的A，一个是A∧B→Ψ和Ψ→A∧B都成立，而另一个则是A∧B→Ψ成立，但Ψ→A∧B有可能不成立。一阳生还没有理解当把定义中的A改用存在量词而不用具体指出b时，已经不存在他所说的【在A∧B →Ψ成立的同时 ，Ψ→ A∧B不成立】了。我们讨论的是定义的逻辑结构，他所举的反例根本同我们的讨论无关。

另外还要认识到【定义】的表述同【具体应用极限定义解决问题】之间，存在着的不同和差异.

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