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Zmn-0254 薛问天:全面认识数学的「相对独立性」-评新华先生的议论

已有 328 次阅读 2020-7-2 08:29 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0254 薛问天:全面认识数学的「相对独立性」-评新华先生的议论

【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0243》新华先生的文章部分论点的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

全面认识数学的「相对独立性」

-评新华先生的议论


薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg(一),大家知道,数学是研究现实世界(包括人类社会和人类思维)的数量关系和空间形式昀科学。因而,数学有与现实世界密切联系的一方面,但是数学作为一门独立的理论学科,又有它自成系统,自圆其说的「相对独立性」的一面。理论与实践,有理论来源于实践并受实践检验的一面,同时也有自身的逻辑体系自我完善和提高加深的,从理论到理论 的「相对独立性」的一面。这是认知过程的两面,我们必须学会全面地认识事物。任何只强调,只承认一个方面 ,而忽视甚至否定另一方面的认识和观点,都是片面的和错误的。多年的正面和负面的实践证明,用片面的认识来指导我们的行动会带来多大的危害和災难。

众所周知,数学有高度的抽象性和广泛的应用性。所谓数学的「抽象」,就是要舍棄那些具体的象,而只把数量关系抽出来。我们知道3+2=5是从3头牛加2头牛是5头牛,3匹马加2匹马是5匹马中抽象出来的。但是,数学中的3+2=5必须把牛、马这些具体概念抛在脑后。如果带上牛、马这些字,这样的公式就不是数学公式。必须让数学从牛、马这些概念中独立出来。这才是数学。正是由于这高度的抽象性决定了它应用的广泛性。只知道 3头牛加2头牛是5头牛,不知道3+2=5,是推广不到其它应用上的。这个浅显的道理我想人人皆知。

 

(二),同理,函数的导数概念是从几何学中曲线切线的斜率,以及物理学中非匀速运动的瞬时速度抽象出来的。但是导数毕竟是数学分析中的概念,不是几何学或物理学中的概念。有它自成系统的「相对独立性」。

就如同3+2=5必须从牛、马这些概念中抽象出来一样。数学分析的导数的定义中,必须脱离开几何学和物理学中的任何概念。如果你脱离不开,说明你还没有学懂导数。理由很简单,如果导数离不开几何学中切线,它就应用不到物理学中去,因为物理学中没有切线这个概念 。同样, 如果导数离不开物理学中的速度,它就应用不到几何学中去,因为几何学中没有速度这个概念 。导数的定义必须是纯分析的,才能既应用到几何学又能应用到非匀速运动,和众多的其它应用上去。函数的导数,切线斜率,瞬时速度这些概念之间有联系,但是都有它不同的独立含义,分别属于数学分析,几何学和物理学,是不同的概念,不容混淆。

我们不妨用这个标准来分析一下新华先生在《0243》中对导数的描述。新华先生说【 求函数 y=f(x)的导数,是求函数y=f(x)的图像上一个定点 A( x,y)的切线斜率 k,】然后就去求曲线上的切线斜率去了。先求割线的钭率Δy/Δx。然后说【 当∆x→0 时,割线 AB 就以定点 A 为旋转点旋转趋向切线的位置。】于是得出结论: 切线斜率就是当Δx→0时,Δy/Δx的极限。

新华先生所描述的是用极限的方法求几何学中的【切线的斜率】,根本未涉及什么是数学分析中的【导数】。末作概念的抽象,还处在「3头牛加2头牛是5头牛」的水平,还未达到「3+2=5」的真正的数学境界。

真正的数学分析中导数的定义,不能使用几何学中的【曲线】【割线】【切线】【斜率】这些概念和词彙,而要用纯粹的数学分析的语言。要自成体系自圆其说,这就是「相对独立性」。什么是导数?【函数y=f(x)在x点的导数,是函数增量比Δy/Δx,在Δx→0时的极限。】这才是真正的数学分析中导数的定义。其中的用语【函数】【增量】【比】【极限】这都是纯数学分析的的有严格意义的语言。只有认识到这样的导数定义,才是真正达到了数学的境界和水平,学懂了数学。否则就没有认识到数学的高度抽象性,还处在懵懂无知阶段,分不清什么是数学,什么是数学的应用。

把导数应用到几何学中去,要在几何学中做如下的论证。引入坐标,把函数表示为曲线,论证函数的增量比是割线的斜率,割线钭率的极限是切线斜率 。这才得出结论: 切线的斜率是函数的导数。有了这个结论才可以用各种求导数的方法,用求函数的导数来求切线的斜率。

把导数用于求瞬时速度也是如此。先要论证瞬时速度是路程函数的导数。然后才能用求导数的方法去求瞬时速度。

 

(三),上面只是谈了数学的「相对独立性」。在新华先生对极限、导数和微分的陈述中,还出现有一些概念的错误 ,再作些评论 。

(1)Δx→0不是【“强行”x=0

新华先生说【 当取割线AB 的斜率∆y/∆x 极限时,是“强行”∆x=0,取得极限 k,】这是对极限概念的误解。Δx→0,是Δx无限趋近(接近)于0的意思,极限是在Δx未达到0以前的状态时的属性。并没有【“强行”∆x=0】。 并没有【 由“外力”的作用,使得由∆x 发生“突变”或称“飞跃”发生“质变”,变异为∆x=0。】从而并没有【 违背了∆ x>0的设定。】

看来,新华先生还需要进一步正确认识和理解「极限」这个数学概念。

 (2),导数不是【向量】,微分也不是该向量的【分量】 。

导数,极限,斜率等都是纯量,是个确定的实数,不是【向量】。只有在应用中,另外赋于一个方向后,它才是个向量。也就是说,原本的导数概念 ,就是一个实数,没有方向,是个纯量。但也允许在某些应用中,另外赋予某方向(如坐标增大的方向),使其成为一个向量,但这不是必须的。也可以不加这个方向。始终作纯量处理。

导数dy/dx不是向量,微分dx,dy也不是该向量【 平行于 x轴和平行于y轴的两个分量 。】导数dy/dx是定值,但微分dx,dy并不是定值。它们是随着Δx成比例地变化的线性函数。dx=Δx是x的增量,而dy=kΔx,是相应的Δy的线性主部(切线的相应函数增量)。

看来,新华先生还需要进一步正确认识和理解「微分」这个数学概念。

(全文完)



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