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Zmn-0254 薛问天：全面认识数学的「相对独立性」-评新华先生的议论
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Zmn-0254 薛问天：全面认识数学的「相对独立性」-评新华先生的议论
【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0243》新华先生的文章部分论点的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
全面认识数学的「相对独立性」
-评新华先生的议论
薛问天
(一)，大家知道，数学是研究现实世界(包括人类社会和人类思维)的数量关系和空间形式昀科学。因而，数学有与现实世界密切联系的一方面，但是数学作为一门独立的理论学科，又有它自成系统，自圆其说的「相对独立性」的一面。理论与实践，有理论来源于实践并受实践检验的一面，同时也有自身的逻辑体系自我完善和提高加深的，从理论到理论 的「相对独立性」的一面。这是认知过程的两面，我们必须学会全面地认识事物。任何只强调，只承认一个方面 ，而忽视甚至否定另一方面的认识和观点，都是片面的和错误的。多年的正面和负面的实践证明，用片面的认识来指导我们的行动会带来多大的危害和災难。
众所周知，数学有高度的抽象性和广泛的应用性。所谓数学的「抽象」，就是要舍棄那些具体的象，而只把数量关系抽出来。我们知道3+2=5是从3头牛加2头牛是5头牛，3匹马加2匹马是5匹马中抽象出来的。但是，数学中的3+2=5必须把牛、马这些具体概念抛在脑后。如果带上牛、马这些字，这样的公式就不是数学公式。必须让数学从牛、马这些概念中独立出来。这才是数学。正是由于这高度的抽象性决定了它应用的广泛性。只知道 3头牛加2头牛是5头牛，不知道3+2=5，是推广不到其它应用上的。这个浅显的道理我想人人皆知。
(二)，同理，函数的导数概念是从几何学中曲线切线的斜率，以及物理学中非匀速运动的瞬时速度抽象出来的。但是导数毕竟是数学分析中的概念，不是几何学或物理学中的概念。有它自成系统的「相对独立性」。
就如同3+2=5必须从牛、马这些概念中抽象出来一样。数学分析的导数的定义中，必须脱离开几何学和物理学中的任何概念。如果你脱离不开，说明你还没有学懂导数。理由很简单，如果导数离不开几何学中切线，它就应用不到物理学中去，因为物理学中没有切线这个概念 。同样， 如果导数离不开物理学中的速度，它就应用不到几何学中去，因为几何学中没有速度这个概念 。导数的定义必须是纯分析的，才能既应用到几何学又能应用到非匀速运动，和众多的其它应用上去。函数的导数，切线斜率，瞬时速度这些概念之间有联系，但是都有它不同的独立含义，分别属于数学分析，几何学和物理学，是不同的概念，不容混淆。
我们不妨用这个标准来分析一下新华先生在《0243》中对导数的描述。新华先生说【 求函数 y=f(x)的导数，是求函数y=f(x)的图像上一个定点 A( x，y)的切线斜率 k，】然后就去求曲线上的切线斜率去了。先求割线的钭率Δy/Δx。然后说【 当∆x→0 时，割线 AB 就以定点 A 为旋转点旋转趋向切线的位置。】于是得出结论: 切线斜率就是当Δx→0时，Δy/Δx的极限。
新华先生所描述的是用极限的方法求几何学中的【切线的斜率】，根本未涉及什么是数学分析中的【导数】。末作概念的抽象，还处在「3头牛加2头牛是5头牛」的水平，还未达到「3+2=5」的真正的数学境界。
真正的数学分析中导数的定义，不能使用几何学中的【曲线】【割线】【切线】【斜率】这些概念和词彙，而要用纯粹的数学分析的语言。要自成体系自圆其说，这就是「相对独立性」。什么是导数?【函数y=f(x)在x点的导数，是函数增量比Δy/Δx，在Δx→0时的极限。】这才是真正的数学分析中导数的定义。其中的用语【函数】【增量】【比】【极限】这都是纯数学分析的的有严格意义的语言。只有认识到这样的导数定义，才是真正达到了数学的境界和水平，学懂了数学。否则就没有认识到数学的高度抽象性，还处在懵懂无知阶段，分不清什么是数学，什么是数学的应用。
把导数应用到几何学中去，要在几何学中做如下的论证。引入坐标，把函数表示为曲线，论证函数的增量比是割线的斜率，割线钭率的极限是切线斜率 。这才得出结论: 切线的斜率是函数的导数。有了这个结论才可以用各种求导数的方法，用求函数的导数来求切线的斜率。
把导数用于求瞬时速度也是如此。先要论证瞬时速度是路程函数的导数。然后才能用求导数的方法去求瞬时速度。
(三)，上面只是谈了数学的「相对独立性」。在新华先生对极限、导数和微分的陈述中，还出现有一些概念的错误 ，再作些评论 。
(1)，Δx→0不是【“强行”∆x=0】
新华先生说【 当取割线AB 的斜率∆y/∆x 极限时，是“强行”∆x=0，取得极限 k，】这是对极限概念的误解。Δx→0，是Δx无限趋近(接近)于0的意思，极限是在Δx未达到0以前的状态时的属性。并没有【“强行”∆x=0】。 并没有【 由“外力”的作用，使得由∆x 发生“突变”或称“飞跃”发生“质变”，变异为∆x=0。】从而并没有【 违背了∆ x＞0的设定。】
看来，新华先生还需要进一步正确认识和理解「极限」这个数学概念。
(2)，导数不是【向量】，微分也不是该向量的【分量】 。
导数，极限，斜率等都是纯量，是个确定的实数，不是【向量】。只有在应用中，另外赋于一个方向后，它才是个向量。也就是说，原本的导数概念 ，就是一个实数，没有方向，是个纯量。但也允许在某些应用中，另外赋予某方向(如坐标增大的方向)，使其成为一个向量，但这不是必须的。也可以不加这个方向。始终作纯量处理。
导数dy/dx不是向量，微分dx,dy也不是该向量【 平行于 x轴和平行于y轴的两个分量 。】导数dy/dx是定值，但微分dx,dy并不是定值。它们是随着Δx成比例地变化的线性函数。dx=Δx是x的增量，而dy=kΔx，是相应的Δy的线性主部(切线的相应函数增量)。
看来，新华先生还需要进一步正确认识和理解「微分」这个数学概念。
(全文完)
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