“偷换概念”是指在同一数学思维过程中，不加说明地用一个完全不同的概念去代替原有概念进行假设、推理或证明，因而产生的违反同一律逻辑错误。如果是有意识地、自觉地偷换概念，就是诡辩。

牛顿在创立《微积分》时偷换概念，在求导过程中不加说明地用∆x=0代替∆x≠0，或用∆x≠0代替∆x=0，产生了著名的“贝克莱悖论”。

英国大主教贝克莱（Berkeley）强烈指责牛顿是有意识地偷换概念，《微积分》是“分明的诡辩”，引发了数学史上持续150年的第二次数学危机，导致《微积分》理论险被推翻。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了牛顿违反同一律的逻辑错误，解除了数学史上的第二次危机。

一、《随机过程》“偷换概念”典型案例分析

以布朗运动基本假设的推理过程为例，分析并说明《随机过程》教科书用随机变量X(t)代替时间函数X(t)的“偷换概念”逻辑错误。

随机变量X(t)和时间函数X(t)的数学符号虽然完全相同，但它们是两个分别定义在样本空间Ω和时域T上的不同函数，因此，随机变量X(t)和时间函数X(t)是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

时间函数X(t)在t时刻只有“唯一一个”确定的取值，而随机变量X(t)在t时刻有“多个”或“无穷多个”与样本空间Ω对应的取值，随机变量X(t) 在t时刻的所有取值服从某种概率分布。

（1）《随机过程》为了刻画图1所示的“连续随机运动”过程，首先“假设布朗运动X(t)为t的连续函数”，并进一步解释X(t)在物理上表示一个布朗粒子在t时刻的位移。

图1 布朗运动位移曲线

分析：布朗运动X(t)是定义在时域T上的连续函数，因此，《随机过程》的研究对象布朗运动X(t)是时间函数X(t)，而不是随机变量X(t)。

（2）《随机过程》将时间区间[0,t]进行 n等分，并用∆X_i表示第i个时间段内的时间函数X(t)的增量，则布朗运动X(t)可写为

X(t)= ∆X₁ +∆X₂+…+∆X_n

分析：《随机过程》将布朗运动X(t)表示为“n个时间函数增量之和”。

（3）《随机过程》不加说明地用“n个独立同分布的随机变量增量之和”代替了“n个时间函数增量之和”，并将布朗运动X(t)表示为：

X(t)= n个独立同分布随机变量增量之和

分析：《随机过程》用“随机变量增量之和”偷偷代替了“时间函数增量之和”，不加说明地将布朗运动X(t)从时间函数X(t)偷换为随机变量X(t)。

（4）《随机过程》根据“独立同分布随机变量之和的极限分布为正态分布” 的中心极限定理，推出了 “布朗运动X(t)服从（0，σ²t）正态分布”的结论，并将其作为布朗运动定义中的基本数量关系。

分析：《随机过程》将布朗运动X(t)从时间函数X(t)偷换为随机变量X(t)之后，又将随机变量X(t) 服从（0，σ²t）正态分布的性质当作布朗运动X(t)定义中的基本假设，从而在布朗运动定义（基本假设）中隐藏了违反同一律的逻辑错误，必将导致《随机过程》理论在逻辑上不能自洽。

事实上，自然科学、工程技术和社会科学领域大量的实验观测结果表明：布朗运动位移不服从正态分布，图1所示的“连续随机运动”曲线是功率谱密度与频率的平方成反比的红噪声（Red Noise）。

二、《随机过程》在逻辑上不能自洽

《随机过程》根据“布朗运动X(t)服从（0，σ²t）正态分布”的布朗运动定义（基本假设），推导出了布朗运动X(t)具有常返性的结论，也就是说，存在任意大的t，使得X(t)=0，即从原点出发的布朗粒子最终一定会返回原点无穷多次。

假设在t时刻返回原点，有X(t)=0，直接计算X(t)的方差，有

D[X(t)]=D[0]=0

显然，与布朗运动定义（基本假设）给出的方差D[X(t)]= σ²t相悖，导致《随机过程》理论在逻辑上不能自洽。

三、结论

牛顿在《微积分》中的“偷换概念”逻辑错误产生的“贝克莱悖论”，引发了数学史上持续150年的第二次数学危机。《随机过程》中的“偷换概念”逻辑错误导致《随机过程》理论在逻辑上不能自洽，也必将引发一场重大数学危机。

参考：

[1]Gregory F. Lawler. 随机过程导论[M]. 张景肖译. 北京:机械工业出版社,2010.

[2]发现《随机过程》教科书逻辑悖论的原理及方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1326016.html