“范式转换”是美国著名科学哲学家托马斯•库恩1962年在其《科学革命的结构》一书中提出的一种科学理论发展模式。库恩的“范式转换”理论把科学发展的进化与革命这两种因素结合起来考虑，因而更合乎科学发展的历史和事实。

“范式转换”理论深刻揭示出了科学发展的基本过程、基本模式和基本规律,对人们厘清本学科的发展历史、现状，以及把握未来的创新发展方向和预期成果具有非常重要的启示作用和现实意义。

一、范式转换与科学革命

库恩在《科学革命的结构》书中给出了“范式”的定义：范式是指特定的科学共同体从事某一类科学活动所必须遵循的公认 “模式”，它包括共有的世界观、基本理论、范例、方法、手段、标准等等与科学研究有关的所有东西。

库恩认为，范式是一门学科成为科学的必要条件。当一门学科有了系统化的理论后，就会形成共同范式，使该学科进入常规科学发展阶段。

库恩在《科学革命的结构》中给出了科学理论的发展模式：

常规科学（现有范式）→反常现象→科学危机→科学革命（新范式代替旧范式）→新常规科学

在常规科学发展阶段，人们只能在现有范式（基本概念、基本假设和基本方法）的严格限制下，用长期积累的专业知识和专业技能，专心解决当前知识领域中的一些悬而未决的难题。例如，丘成桐教授在1976年求解难度非常大的非线性偏微分方程，并证明了卡拉比猜想，就是一个非常著名的解难题科学活动。由于解难题的结果是被预期的，因此解难题并不能带来任何新的科学发现和新的知识。

教科书规定的共同范式对科学理论的创新发展有时会起限制或阻碍作用，它不允许科学理论的发展超越现有范式的框架和界限，不允许科学理论的基本概念和基本假设发生变化，因此科学家们的研究活动受到严格的范式限制。

但是随着科学的发展，会出现很多现有范式不能解释的 “反常”现象，如理论与科学实验结果不符，在逻辑上不能自洽，对于同一自然现象及规律的解释与其它学科理论对立冲突等等。

“反常”现象最大的特点是与现有范式存在本质对立和严重冲突的不可调和矛盾。当现有范式无法解释“反常”现象或解决“反常”问题时，就进入了科学危机阶段。

为了从根本上解决反常问题，人们不得不摒弃现有范式，而采用新范式来重建科学理论，导致科学理论的基本概念、基本假设和基本方法发生革命性演变。

新范式代替旧范式的过程就是“范式转换”。新范式和旧范式是不可通约的，新范式的出生代表着旧范式的死亡，范式转换过程就是科学革命的过程。

范式转换不仅导致整个科学理论体系和结构的重建，进而会产生一系列重大科学发现，使人类思维方式发生根本性的变革，对客观世界的认识产生质的飞跃。

例如，托勒密的“地心说”是早期的天文学旧范式，哥白尼的“日心说”是天文学新范式，“日心说”替代“地心说”就是一次著名的范式转换或科学革命，它标志着科学发展的重大转折。

图1 日心说与地心说

科学革命发生之后，新的常规科学又会在新的范式指导下按常规发展。因此，科学理论的演变不是一个连续积累的过程，而是一个进化与革命不断交替的过程。

库恩的范式转换理论表明：“反常”现象不仅是常规科学发生范式转换的典型征兆，也是驱动常规科学进行范式转换的外在动力。

在科学发展史上“反常”现象很少发生，因此，出现“反常”现象是科学领域百年不遇的重大发展机遇。

幸运的是，现有《随机过程》教科书出现了四种典型的“反常”现象，预示《随机过程》教科书即将发生范式转换，一场新范式取代旧范式的科学革命即将来临，这为中国的数学学科进入世界一流水平前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

二、“反常”现象1：与客观事实不符

数学是描述现实世界数量关系和空间形式的知识体系，数学的最本质特征是其客观真理性，从数学理论推导出的可检验结论应该与实验检验结果相符。

国际著名数学大师、哈佛大学数学系和物理系终身教授、清华大学数学科学中心主任丘成桐教授曾在多个公开场合自豪地说：“没有一个学科能像数学一样，对世界的描述经得起时间考验。”

布朗运动是一种在自然界和人类社会实践活动中广泛存在的连续随机运动（过程），如悬浮粒子的无规则运动、陀螺随机游走、股票价格波动和表面微观轮廓等等。

自然科学、工程技术和社会科学领域大量的观察实验结果（图2）表明：布朗运动位移是不服从正态分布的红噪声（Red Noise），布朗运动瞬时速度（导数）为平均功率有限的白噪声（White Noise）。

图2 布朗运动位移和瞬时速度实验观测结果 

但是，《随机过程》不是依据布朗运动实验数据和实验规律，而是主观臆想出“布朗运动位移服从正态分布”的基本假设，并推导出了“布朗运动瞬时速度无穷大（不存在）”和“布朗运动路径处处不可导”的逻辑结论。

显然，《随机过程》的基本假设和逻辑结论均与图2所示的客观事实不符，无法正确描述布朗运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

由于《随机过程》布朗运动理论无法正确描述并解决陀螺仪中的随机游走现象和问题，工程师们不得不抛弃《随机过程》理论，而是将“布朗运动瞬时速度等于白噪声”的实验观测规律作为基本假设，建立了与《随机过程》对立冲突的布朗运动理论，成功地解决了飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹等航行体的精确导航和精确制导问题。

三、“反常”现象2：逻辑上不能自洽

数学理论是借助于形式逻辑推理规则，由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统，形式逻辑的无矛盾性（逻辑完备性）是其重要特征。也就是说，数学理论的基本假设和逻辑结论之间有着内在的必然联系，不能出现相互矛盾的结论（逻辑悖论），在逻辑上是完备自洽的。

1、逻辑悖论：

逻辑悖论是数学发展过程中的一个重要存在形态。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一数学理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中的一种基本随机过程。根据随机游走定义和随机游走定理，可分别推出“随机游走位置方差不等于零（n≠0时）”和“随机游走位置方差等于零（n≠0时）”的结论（图3），显然，这两个结论相互矛盾，表明《随机过程》教科书的定义和定理之间存在逻辑悖论，在逻辑上不能自洽。

图3 《随机过程》逻辑悖论

2、“偷换概念”逻辑错误：

同一律是数学推理过程中必须要遵循的逻辑基本规则。在同一推理过程中，使用的概念要必须一致，始终保持同一，不能用不同的概念表示同一对象，这样才能保证结论的确定性和无矛盾性。

任何推理都包含前提、结论和推理形式。前提是已知的判断，是推理的出发点和根据。结论是由前提推出的新判断，是推理过程的结果。前提和结论之间的逻辑关系就是推理形式。

如果在推理过程中，不加说明地用一个完全不同的概念代替原有概念进行推理，导致结论与前提概念不一致，就会违反同一律，犯“偷换概念”逻辑错误，破坏数学理论的逻辑完备性和客观真理性。

牛顿在创立《微积分》时违反同一律，将∆x≠0和∆x=0这两个不同的概念相互代替，产生了著名的“贝克莱悖论”，引发了一场数学史上持续150年的第二次数学危机，《微积分》理论险被推翻。

英国大主教贝克莱（Berkeley）严厉批评牛顿是有意识地“偷换概念”，《微积分》理论是“分明的诡辩”，并指出“逻辑错误不会产生科学”。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除《微积分》中的违反同一律逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了《微积分》中违反同一律的逻辑错误和“贝克莱悖论”，解除了数学史上的第二次危机。

《微积分》是研究质点确定性运动现象及规律的数学理论，而《随机过程》是研究质点随机性运动现象及规律的数学理论。

历史总是惊人的相似，《随机过程》也布牛顿的后尘，出现了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误。

《随机过程》在研究连续随机运动过程时，首先假设布朗粒子在t时刻的位移X(t)是t的连续函数，然后根据中心极限定理推出了X(t)～N（0，σ²t）的结论。

显然，上述推理前提中的X(t)是时间函数，结论中的X(t)是随机变量。

时间函数X(t)和随机变量X(t)的数学符号虽然完全相同，但它们是两个分别定义在时域T和样本空间Ω上的不同函数，是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

因此，《随机过程》在推理过程中违反同一律，不加说明地用随机变量X(t)代替前提中的时间函数X(t)，导致上述推理结论和前提中的概念不一致，产生了“偷换概念”逻辑错误（图4）。

图4《随机过程》“偷换概念”逻辑错误

逻辑错误是科学理论产生逻辑悖论，并导致科学理论在逻辑上不能自洽的根本原因。

四、“反常”现象3：与其它理论对立冲突

在科学发展过程种，对于同一自然现象及规律，往往由于科学家的世界观、研究方法和实验手段的不同，以及科学抽象和科学思维能力的差异，会形成不同的学术观点和科学理论，例如哥白尼的“日心说”和托勒密的“地心说”，拉瓦锡的“氧化说”与斯塔尔的“燃素说”。

随着科学的发展，人类对客观世界的认识水平和实验手段不断提升，最终会对两种对立冲突的科学理论做出公正的评价，导致一种科学理论对其它理论的替代。

对于图2所示的布朗运动位移和瞬时速度实验观测结果，《随机过程》和《随机信号分析》分别建立了基本假设和逻辑结论完全不同的布朗运动理论（表1）。

表1 《随机过程》与《随机信号分析》对比

显然，《随机过程》对布朗运动位移和瞬时速度（导数）的描述不仅与客观事实不符，而且与《随机信号分析》根本对立和严重冲突。

《随机过程》与《随机信号分析》对立冲突的根本原因在于：《随机过程》违反同一律，在推理过程中不加说明地将布朗粒子在t时刻的位移x(t)从“时间函数”偷换为“随机变量”，使《随机过程》理论的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到破坏，因此，《随机过程》教科书中布朗运动理论必将会被《随机信号分析》布朗运动理论所取代。

五、“反常”现象4：应用导致金融危机

《数理金融学》根据《随机过程》教科书“布朗运动位移服从正态分布”的假设，推导出了著名的B-S期权定价公式。由于从理论上解决了股票、债券、货币、商品等金融衍生产品的定价问题，因此被迅速广泛地应用于金融市场，直接导致了“第二次华尔街数学革命”，使金融市场获得了空前规模的发展。1997年，推导出B-S期权定价公式的斯科尔斯（Scholes）因此获得了第二十九届诺贝尔经济学奖。

由于“布朗运动位移服从正态分布”的假设与客观事实不符，无法正确描述并预测金融市场的波动趋势及波动程度，导致B-S期权定价公式成为造成1987、1997和2007年三次重大金融危机的罪魁祸首。

英国著名数学家斯图尔特（Stewart）在《改变世界的17个方程》书中写道：B-S期权定价公式改变了世界，它不仅创造了一个金额难以估计的产业，而且也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。

被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020年未来科学大奖的彭实戈院士，在《中国基础研究发展报告（2019年）》第二章中国数学前沿进展中明确指出：B-S期权定价公式是造成以前历次重大金融危机的关键性原因。

畅销书《黑天鹅》作者塔勒布（Taleb）在《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章，对《数理金融学》进行了严厉的批判，并痛斥B-S期权定价公式获得诺贝尔奖不仅是对科学的侮辱，而且一直使金融体系面临崩溃的风险。

六、《随机过程》范式转换

从表1的《随机过程》与《随机信号分析》对比可以看出，《随机过程》和《随机信号分析》将布朗粒子在t时刻的位移x(t)分别抽象为“随机变量”和“时间函数”，因此，《随机过程》的范式转换就是用《随机信号分析》的 “时间函数范式”替代 《随机过程》的“随机变量范式”，布朗运动基本假设从“布朗运动位移服从正态分布”转换为“布朗运动瞬时速度为白噪声”，导致《随机过程》整个理论体系的基础和性质将发生革命性的演变（表2）。

表2 《随机过程》范式转换

《随机过程》的范式转换将颠覆和改变人类对随机运动现象及规律的认知，使人类思维方式产生重大变革，在自然科学、工程技术和社会科学领域掀起一场广泛持久的科学革命，对科学、社会和经济发展产生重大影响。