“悖论”是指自相矛盾的命题，或荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

科学理论是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统，必然要求科学理论内部必须在逻辑上自洽。一旦在某个科学理论中发现逻辑悖论，则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，其内部必然隐藏着重大科学问题（概念错误或逻辑错误）。

逻辑悖论的出现，不仅预示着科学理论即将发生重大范式转换，而且也为科学理论产生革命性演变带来了难得的发展机遇。

逻辑悖论也是推动科学理论取得突破性发展的强大内在逻辑动力。数学史上的三次重大数学危机均由逻辑悖论的发现而引发，逻辑悖论的发现同时也导致了数学史上的三次重大数学突破，因此，逻辑悖论在推动数学突破性发展的过程中发挥了巨大的作用。

一、《随机过程》教科书产生逻辑悖论的原理

在同一数学思维过程中，如果出现违反同一律和矛盾率的逻辑错误，就必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

同一律是指在同一推导、演算和分析过程中，所使用数学概念的内涵和外延必须要与其自身始终保持同一。如果在同一数学思维过程中，把两个完全不同的数学概念混为一个概念，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，必然会导致推导出的结论在逻辑上不能自洽。

矛盾律是指在同一数学思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象。如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

随机运动（随机游走、布朗运动和泊松跳跃）的质点在t时刻的位移X(t)无疑是时间t的函数，《随机过程》教科书虽然在基本定义中将X(t)错误地假设为随机变量，但有时在研究质点随机运动的性质时，又将X(t)正确地还原为时间函数，从而出现了一系列违反同一律和矛盾律的逻辑错误，因此《随机过程》教科书中必然隐藏着很多逻辑悖论。表1给出了维纳过程定义违反同一律和矛盾律的逻辑错误分析。

表1 维纳过程定义中的逻辑错误

表2 时间函数和随机变量的区别

二、发现《随机过程》教科书逻辑悖论的方法

随机变量X(t)和时间函数X(t)的数学期望和方差是不同的，《随机过程》教科书用随机变量X(t)和时间函数X(t)同时描述质点在t时刻的位移X(t)时，如果分别求其数学期望和方差，就会出现两个自相矛盾的结论。

以布朗运动为例，说明发现《随机过程》教科书逻辑悖论的方法。

设X(t)为布朗粒子在t时刻的位移，显然X(t)是时间t的函数，但是，《随机过程》教科书却错误地将X(t)定义为服从(0，σ² t)正态分布的随机变量，即X(t)～N(0，σ² t)。

《随机过程》教科书在研究布朗运动首中时T_a时，又将首中位置X(T_a)正确地还原为时间函数X(t)在t= T_a时的取值，并假设X(T_a)= a为常数（图1）。

图1 布朗运动首中时与首中位置

根据X(T_a)= a可直接计算出X(T_a)的数学期望和方差为

E[X(T_a)]= a

D[X(T_a)]=0

但是，根据《随机过程》教科书维纳过程定义X(t)～N(0，σ² t)的假设，X(T_a)的数学期望和方差为

E[X(T_a)]=0

D[X(T_a)]= σ²T_a

显然，从时间函数X(t)计算出的数学期望和方差与随机变量X(t)给出的数学期望和方差相互矛盾。

三、结论

科学研究从发现问题开始。爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为解决一个问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正的进步。”关于如何消除科学理论中的逻辑悖论，爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”