数学推理是由一个或几个已知判断（前提）推出一个新判断（结论）的思维形式，它可以使我们根据已知推出未知。推理是数学研究获取新知识、发现新规律和建立新理论的重要方法，例如，整个《欧几里得几何》就是由一系列推理组成的推理系统。

任何推理都包含前提、结论和推理形式。前提是已知的判断，是推理的出发点和根据。结论是由前提推出的新判断，是推理过程的结果。前提和结论之间必须要有一定的逻辑关系，也就是推理形式。

同一律是数学推理过程中必须要遵循的逻辑基本规则。在同一推理过程中，使用的概念要必须一致，始终保持同一，不能用不同的概念表示同一对象，这样才能保证结论的确定性和无矛盾性。

如果在推理过程中，不加说明地用一个完全不同的概念代替原有概念进行推理，就会违反同一律，犯“偷换概念”逻辑错误，导致结论不仅在逻辑上不能自洽，而且与客观事实不符。

以《随机过程》教科书“布朗运动位移服从正态分布”的基本假设为例，分析说明《随机过程》教科书在推理过程中的违反同一律“偷换概念”逻辑错误。

《随机过程》首先假设布朗粒子在t时刻的位移X(t)是t的连续函数，然后根据中心极限定理推出了X(t)～N（0，σ²t）的结论。

显然，上述推理前提中的X(t)是时间函数，结论中的X(t)是随机变量。

时间函数X(t)和随机变量X(t)的数学符号虽然完全相同，但它们是两个分别定义在时域T和样本空间Ω上的不同函数，是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

因此，《随机过程》在同一推理中使用了两个完全不同的数学概念描述同一对象，导致上述推理前提和结论中的概念不一致，产生了“偷换概念”逻辑错误（图1）。

图1 《随机过程》违反同一律逻辑错误

牛顿创立《微积分》时曾违反同一律，将∆x≠0和∆x=0这两个不同的概念相互代替，产生了著名的“贝克莱悖论”，引发了一场数学史上持续150年的第二次数学危机，《微积分》理论险被推翻。

英国大主教贝克莱（Berkeley）严厉批评牛顿是有意识地“偷换概念”，《微积分》理论是“分明的诡辩”，并指出“逻辑错误不会产生科学”。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除《微积分》中的“偷换概念”逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了《微积分》中的“偷换概念”逻辑错误和“贝克莱悖论”，解除了数学史上的第二次危机。

《随机过程》教科书中的“布朗运动位移服从正态分布”基本假设（公理）是通过“偷换概念”的方式推出的，必然会导致《随机过程》布朗运动理论与客观事实不符，并且在逻辑上不能自洽，无法正确描述布朗运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的方法、理论及工具。

参考：

[1] Gregory F.Lawler.随机过程导论[M]. 张景肖译. 北京:机械工业出版社,2010年.

[2] 何书元. 随机过程[M]. 北京大学出版社,2008年.

[3] 钱敏平，龚光鲁，陈大岳，章复熹. 应用随机过程[M]. 北京:高等教育出版社,2011年.