设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，根据布朗运动定律，可直接写出布朗粒子的运动学方程

式中的n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

从信号与系统角度看，布朗运动位移x(t)可看成是白噪声信号n(t)激励图1所示系统时产生的输出响应。

图1 布朗运动系统模型

由于白噪声n(t)的功率谱密度为常数，因此n(t)通过图1所示的系统后，系统输出x(t)的频域特性就完全取决于系统的频率响应特性，因此，可把布朗运动位移x(t)频域特性的研究转变为对确定性系统频率响应的研究。

频域是描述事物周期波动特性时用到的一种坐标系。使用傅立叶变换（Fourier Transformation），任何随时间变化的随机运动，均可被分解成为不同频率的谐波分量，而每个谐波分量又可用确定性的正弦或余弦函数表示（图2）。

图2 随机运动频域分解

随机现象虽然在时域无法用确定性的数学解析式来描述，但是在频域却可用确定性的数学解析式表示。

当系统输入正弦或余弦信号的频率从0到无穷大的范围内连续变化时，系统输出（幅值和相位）随输入频率变化而呈现的变化规律就称为系统频率响应。

设图1所示系统的输入信号为Cos(ωt)，ω为定义在[-∞，+∞]的角频率，由布朗粒子运动学方程，可得系统对输入信号Cos(ωt)的频率响应

式中，Sinc(ωt)为辛格函数，是正弦函数Sin(ωt)与单调递减函数1/ ωt的乘积。

物理学中很多著名的现象都用Sinc函数来描述，例如夫琅和费单缝衍射的强度分布、矩形脉冲的频率分布和超导材料隧道结临界电流随外磁通的变化关系等。

图3为布朗运动系统模型频率响应的幅频特性。

图3 布朗运动系统模型幅频特性

由布朗运动系统模型频率响应和幅频特性可以看出，布朗运动位移x(t)具有如下性质：

（1）H(ω)关于ω连续，表明x(t)的时域波形为非周期信号。

（2）H(ω)具有低通滤波特性。Sin(ωt)函数的主瓣（第一个零点以内）集中了90%以上的信号能量，表明x(t)的主要谐波分量为低频波动，布朗运动位移x(t)具有很大的惯性。

（3）|H(0)|=t，表明布朗运动位移x(t)中存在一条与时间t成正比的线性趋势线，x(t)围绕趋势线上下波动。

（4）当时间t充分大时，H(ω)的能量向H(0)集中，因此x(t)趋于一条从原点发出的射线。

（5）|H(ω)|与ω成反比，表明布朗运动位移x(t)具有1/f分形特征，即布朗运动位移曲线具有标度变换下的结构不变性（自相似性）。事实上，实际的布朗运动位移曲线或股票价格曲线在任何尺度下都具有某种程度的相似性（图4）。

图4 布朗运动位移的1/f分形特征