本文从描述单个布朗粒子运动规律的布朗运动定律出发，推导出了大量布朗粒子在t时刻的空间位置服从（0，N₀t）正态分布的结论，与爱因斯坦布朗运动理论完全一致。

《随机过程》教科书使用定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t)来描述大量质点的随机运动过程（图1），样本点ω对应于不同的质点。

图1 随机过程、样本函数及随机变量

固定样本点ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，记为x(t)，样本函数x(t)用于描述单个布朗粒子的位移随时间变化过程。

固定时间t ，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，记为X(t)，随机变量X(t)用于描述所有布朗粒子在t时刻的空间位置分布状态。

注意：随机变量X(t)并不是时间t的函数，符号X(t)中的t只是一个时间标记。

设x(t)为单个布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，由布朗运动定律，可直接写出布朗粒子的运动学方程

式中的n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

白噪声为各态历经随机过程，白噪声随机变量N(t)的统计平均或空间平均与白噪声样本函数n(t)的时间平均在概率意义上相等，因此，可根据n(t)的均值和方差推导出布朗运动随机变量X(t)的数学期望和方差。

设零均值不相关白噪声样本函数n(t)的功率谱密度为N₀，则白噪声随机变量N(t)的数学期望和方差为

式中N₀为白噪声n(t)的功率谱密度或时间方差。

由单个布朗粒子的运动学方程，直接可写出布朗运动随机变量方程

式中X(t)为布朗运动随机变量，N(t)为白噪声随机变量。

X(t)的数学期望和方差为

因此，根据中心极限定理，布朗运动随机变量X(t) 或大量布朗粒子在t时刻的空间位置服从（0，N₀t）正态分布，与爱因斯坦布朗运动理论完全一致（图2）。

图2 布朗运动位移曲线及正态分布