设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，根据布朗运动定律，可直接写出布朗粒子的运动学方程

式中的n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

如果布朗粒子在t时刻的位移x(t)可导，则下述时间函数的极限存在

将布朗粒子的运动学方程x(t)代入上式，有

上式右边为白噪声n(t)在区间[t，t+Δt]上的算术平均值，其物理意义为白噪声n(t)在区间[t，t+Δt]上的直流分量，因此，其极限存在并且有限，表示布朗运动x(t)处处可导。

《随机过程》教科书在证明布朗运动的可导性时，用随机变量X(t)取代了时间函数x(t)，于是有

由维纳过程定义X(t)～N(0，σ²t)的性质，有

当Δt趋于零时，上式趋于无穷大，表明随机变量的极限或布朗运动的瞬时速度不存在，因此《随机过程》教科书得出了“布朗运动处处不可导”这一与经验事实完全不符的错误结论。

2010年，美国德克萨斯大学的李统藏通过实验方法观测到了单个布朗粒子的瞬时速度（图1），实验结果表明：布朗运动的瞬时速度为零均值不相关白噪声，布朗运动的导数不仅存在，而且可观测。

图2 布朗粒子瞬时速度测量实验结果