因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”、"反证法要义"、“欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则”、“质疑第一次数学危机的真相（续）”、“评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明”、“设立√2不是有理数的反论题写入‘p，q互质’是画蛇添足”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——应用反证法证明√2不是有理数应该推出什么样的矛盾？希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

应用反证法证明√2不是有理数应该推出什么样的矛盾？

杨六省

yangls728@163.com

√2是不是有理数取决于√2=p/q中的p和q能否都是整数。因此，要用反证法证明√2不是有理数，就必须推出与“p和q都是整数”相矛盾的结论。但是，传统的证明方法把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题，就是想通过推出与“p，q 互质”相矛盾的结论来证明√2不是有理数。常识告诉我们，入境资格只能在入境口岸进行审查而不是在境内审查，也就是说，不能把境内法作为审查入境资格的依据。p与q是否互质是有理数系统内的矛盾，p与q是否都是整数是有理数与无理数之间的矛盾。于是，我们的质疑是，对于√2=p/q而言，凭什么说，否定“p，q 互质”（姑且不论这种推理是否有效）就是否定“p和q都是整数”呢？还可以打个浅显的比方，如果并非两人都有资格入场，那么，讨论两人的座位问题（例如，两人能否坐在一起？）是有意义的吗？通过这种讨论能够证明“并非两人都有资格入场”吗？简言之，√2不是有理数的反论题——√2= p/q（p和q都是整数），是不可以写入“p，q互质”之类的内容的，因为这会改变问题的性质，即应用反证法证明√2不是有理数，本应推出有理数与无理数之间的矛盾（指√2= p/q中的p和q不可能都是整数），却变成了要推出有理数系统内的矛盾（指√2= p/q中的p和q不可能互质），从而把论证引入歧途。

说明：由于√2不是有理数涉及的不是有理数系统内的矛盾，而是有理数与无理数之间的矛盾，所以，只应用有理数系统内的概念及有限步推理的概念是不可能证明√2不是有理数的，因此，在√2不是有理数的有效证明中包含无限步推理的情况就是可以理解的了。