因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——"√2不是有理数传统证明的两大错误"，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

√2不是有理数传统证明的两大错误

杨六省

yangls728@163.com

我的帖文“我是这样证明√2不是有理数的”发布后，收到了几位网友朋友的意见如下：“没有具体谈。请把这部分您的具体论证说清楚，这是争论的不同意見的关键。”“在反证法的假定下，会产生很多矛盾。只要推出任何一个矛盾，都能使定理得证。”

下面是笔者对上述意见的答复。

为了说明√2不是有理数的传统证明是无效的，本文只讨论其中的两大错误。

第1条错误：把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题是错误的。

逻辑学有一个专业术语叫复杂问语。说的是：提问者将某些虚假的论断以承认其为真的方式隐藏在问句中来问问题，只要你回答提问，就会陷入困境——无论回答“是”或“否”，你都是在承认那些虚假的论断。复杂问语最有名的例子是古希腊那个著名的提问：你停止打你的父亲了吗？

常识告诉我们，如果某人没有进餐，你可以问：你吃过了吗？但不可以问：你吃的怎么样，满意吗？为了应用反证法证明此人没有进餐，可以假设他吃过了，但不可以假设他吃的满意或不满意。

同理，对于不是有理数的√2，可以问：√2是有理数吗？即√2是分数吗？但不可以问：√2是最简分数吗？（注：更容易发现问法错误的问法是：√2是最简分数，还是非最简分数？）为了应用反证法证明√2不是有理数，可以假设√2是有理数，即假设√2是分数，但不可以假设√2是最简分数。理由是，“√2是最简分数”可以被看作是对“√2是最简分数吗？”的回答，而“√2是最简分数吗？”是一个复杂问语，因此，依据复杂问语的界说，“√2是最简分数”意味着回答者（即√2不是有理数的论证者）已经承认“√2是分数”，但这是悖理的。

有了上述说明，下面的比喻大家就不应该感到惊讶了，因为二者的逻辑错误在本质上是相同的，即都是承认隐藏在复杂问语中的虚假论断，所不同的是，一个（指婚宴主持人）扮演的是复杂问语提问者的角色，另一个（指√2不是有理数的论证者毕达哥拉斯学派）扮演的是复杂问语回答者的角色：毕达哥拉斯学派把“√2是最简分数”作为“√2不是有理数”的反论题，就如同一场婚宴尚未开始，主持人便在台上问道：“亲友们，大家都吃好了吗？”瞬间，引得全场哄堂大笑！看来常识的力量是强大的，有了它，连老人和小孩都不会受骗！然而，令人遗憾和不可思议的是，在过去的25个世纪里，居然无人对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数所设立的反论题（即√2是最简分数）有过怀疑！

有人认为，由√2=p/q（p，q 均为整数）可以推出√2=p/q（p，q互质），想必理由是可以对√2=p/q（p，q 均为整数）中的右边进行约分。问题是，对于一个不是分数的东西（注：√2=p/q（p，q 均为整数）的右边只是一种假设），假设它是分数，然后认为可以对其实施约分以求得到最简分数，这样的想法是否合理？事实上，这是在改变原问题，即把要否定√2是分数变成要否定√2是最简分数，从而使问题陷入复杂问语的逻辑错误。再说，由√2=p/q（p，q 均为整数）也推不出p和q都是偶数（理由参见下文），所以，所谓否定√2是最简分数也只是一种空想。

事实上，假设√2=p/q（p，q互质）就如同“你从未打过父亲却被人假设你已经停止打父亲”。如果你同意前一个假设，就应该也同意后一个假设，因而就是在承认你打过父亲，面对这种情景，你情何以堪？

总之，在√2不是有理数的传统证明中，人们把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题是犯了复杂问语的逻辑错误。不要说人们无法做到否定√2=p/q（p，q互质），退一步讲，就算你否定了√2=p/q（p，q互质），又能怎样？√2=p/q（p，q互质）为假，则√2=p/q（p，q不互质）为真，而后者为真仍蕴含√2是分数，怎么能说因为p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾就说明√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数呢？再看看最后一步推理吧：传统证明推出了p和q都是偶数（注：姑且不论这种推理是否有效），但结论是p/q不是有理数，即p和q不全是整数，试问：你会同意这种结论与条件不相容的推理吗？

第2条错误：人们未能意识到，对于p²=2q²（q是整数）而言，如果假设p是偶数，则这个假设蕴含着一个无穷偶数序列：p，q，s， ……，而这个无穷偶数序列在推理过程中的缺席是√2不是有理数传统证明的一大错误。

毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明与今天教科书中的证明是一样的。为了方便起见，本文采用人教版数学课本中的证明。

下面是人教版数学七年级下册第58页证明：

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

 √2=p/q，

于是                                   p=√2q.

两边平方得                             p²=2q². 

由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                   q²=2s².

所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

在人教版的证明中，有如下表述：“由2q²是偶数，可得p²是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。”论证者在推理过程中虽然没有明确声明，但“q是整数”这个假设显然是首先被用到的，否则，就不会有“2q²是偶数”和“p²是偶数”之结论。另外，“q是整数”这个假设可以得到满足也是很明显的事，因为√2=p/q总可以写成√2=p/q（q是整数）的形式。于是，接下来才是在“p是整数”的假设下由“p²是偶数”推出了“p是偶数”，所以，说到底，“p是偶数”之结论仍是一种假设。既然“p是偶数”只是一种假设，那么，下一步该做的事就是审查这个假设（结论）能否成立。

下面是笔者关于√2不是有理数的证明（转引自笔者电子书《悖论：披着羊皮的狼》）。

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得q² =2r² 。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，q² =2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。

② p不可能是奇数，因为奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q而言 ，其中的p和q不可能全是整数。（证完）

简单梳理一下笔者的证题思路：

假设q是整数且p是偶数，推不出p是偶数（理由见笔者关于√2不是有理数的证明）。

假设q是整数且p是奇数，则会导致p²=2q²（q是整数）不成立，故假设q是整数且p是奇数不成立。

综合上述两条，结论是，在假设q是整数的情况下，无论假设p是偶数还是假设p是奇数（注：二者合起来就是假设了p是整数）都推不出p是偶数，也就是说，在假设p和q都是整数的情况下推不出p是偶数，从而也推不出q是偶数，因为关于q是偶数的推理要用到p是偶数这一结论。简言之，由√2不是有理数的反论题√2=p/q（p，q 均为整数）推不出p和q都是偶数。

教科书证明√2不是有理数要用到“p和q都是偶数”这一结论（姑且不论这一点是否有意义），但我们已经证明了由√2=p/q（p，q 均为整数）推不出p和q都是偶数，仅凭这一点就可以断言，教科书并没有证明√2不是有理数。

在关于√2不是有理数的传统证法中，人们没有意识到，对于p²=2q²（q是整数）而言，如果假设p是偶数，则这个假设蕴含着一个无穷偶数序列：p，q，s， ……。（理由是：对于 q²=2s²，既然q是偶数，就应该对q实施与p同样的操作和推理：设q=2t，代入 q²=2s²，得4t²=2s²，即s²=2t²。所以s也是偶数。……）人们在证明中只用到了无穷偶数序列“p，q，s， ……”中的前两项参与推理，这是传统证法的重要错误之一。正确的做法应该是，让整个无穷偶数序列“p，q，s， ……”参与推理。这样，对于p²=2q²（q是整数）而言，就不会推出p是偶数这个结论了（参见笔者关于√2不是有理数的证明）。

综上所述，可以看出，√2不是有理数的传统证明存在着对反证法的误解，具体表现是：认为应用反证法，只要能够推出了矛盾，只要推出的矛盾能够否定我所设定的“反论题”，就表明我已经证明了原论题。殊不知，如果反论题的设定是错误的，那么，一切推理就都是没有意义的，也必是无效的。

其实，要揭示√2不是有理数的传统证明是无效的，只需举出上述两条错误中的任何一条即可。