因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”、"反证法要义"、“欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则”、“质疑第一次数学危机的真相（续）”、“评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——设立√2不是有理数的反论题写入“p，q互质”是画蛇添足，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

设立√2不是有理数的反论题写入“p，q互质”是画蛇添足

杨六省

yangls728@163.com

“中国科学院关于科学理念的宣言”写道：“科学精神是对真理的追求。不懈追求真理和捍卫真理是科学的本质。科学精神体现为继承与怀疑批判的态度，科学尊重已有认识，同时崇尚理性质疑，要求随时准备否定那些看似天经地义实则囿于认识局限的断言，接受那些看似离经叛道实则蕴含科学内涵的观点，不承认有任何亘古不变的教条，认为科学有永无止境的前沿。……科学精神体现为严谨缜密的方法。每一个论断都必须经过严密的逻辑论证和客观验证才能被科学共同体最终承认。任何人的研究工作都应无一例外地接受严密的审查，直至对它所有的异议和抗辩得以澄清，并继续经受检验。”

我国知名数学史专家李文林先生在他的《数学史概论》（第三版）第39页写道：“正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明，最早出现在亚里士多德的著作中：……这一证明与我们今天证明√2为无理数的方法相同，亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。”罗素在他的《西方哲学史》（上册）第62-63页转述了毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明之后写道：“以上的证明，实质上就是欧几里德第十编中的证明。”（注：该书第63页的注释中写道：“以上的证明或许柏拉图是知道的。”）

下面是人教版七年级下册数学第58页关于√2不是有理数的证明。

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

 √2=p/q，

于是                                   p=√2q.

两边平方得                             p²=2q². 

由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                   q²=2s².

所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

笔者评析：大道至简。“√2不是有理数”的反论题是“√2是有理数”，即√2=p/q（p和q不都是整数）的反论题是√2=p/q（p和q都是整数）。除此，不存在进一步的推理（指由√2=p/q（p和q都是整数）到√2=p/q（p，q 互质）的推理是不成立的），否则，正如列宁所说：“只要再多走一小步，仿佛是向同一方向迈的一小步，真理就会变成谬误。”因此，在设立√2不是有理数的反论题（指√2=p/q（p和q都是整数））时，凡出现“p，q互质”之类的说法，就是画蛇添足，不仅多余，而且有害！

有一位知名的中学数学特级教师批评笔者“缺乏数学常识”，居然连“分数可以化为最简分数”都否定，是“鸡蛋里挑骨头”、“钻牛角尖”。到底何人缺乏常识？笔者的看法完全相反。笔者认为，在设立√2不是有理数的反论题时，写入诸如“p，q互质”、“不妨设p与q互质”之类的话，才让人们羞愧呢！因为这种说法所包含的逻辑错误与下文中婚宴尚未开始主持人便问“客人们是否吃好了？”这个让人忍俊不禁的戏言同理。所不同的是，我们所讨论的问题——“不妨设p与q互质”是否合理，由于远离日常生活，所以错误隐秘不易被发现。还可以这样质疑：为什么偏偏是“不妨设p与q互质”，而不是“不妨设p与q非互质”呢？因为任何非零有理数既可以化为最简分数也可以化为非最简分数呀？答案是不存在的，因为二者都是谬误，均没有合理性。如此说来，这里的鸡蛋里还确实有骨头呢！

话说回来，也并非所有的人都认为笔者的离经叛道没有道理（注：离经叛道现泛指背离占主导地位的理论或学说。2500年以来，人们一直把√2不是有理数的传统证明视为经典）。国内的不说，国外就有人对笔者的观点给予理解和鼓励讨论。例如，加拿大数学史杂志的一位编辑建议笔者写一篇数学教学论文发表（笔者不懂英文）。美国著名科学和数学科普作家Mario Livio先生（哈勃太空望远镜科学研究所的天体物理学家，科学和数学科普作家，美国科学促进协会会员，卡内基基金会“世纪教授”，皮亚诺奖和国际毕达哥拉斯数学畅销书奖得主。其众多数学和天体物理学领域的文章在《自然》《经济学人》《科学》等期刊上得到极高评价）2024-7-19回复笔者时写道：“I suggest that you will attempt to publish your article in one of the mathematical journals.”（“我建议你尝试在数学杂志上发表你的文章。”）遗憾的是，国内的中学数学杂志对这种问题的讨论没有兴趣，因为对中考、高考没用，但是，弄清反证法难道不重要吗？

事实上，笔者并没有笼统的否定“分数可以化为最简分数”，笔者所否定的是对处于矛盾关系中的分数表达式“p/q（p和q 都是整数）”进行分数最简化的合理性。

人们认为，“不妨设p与q互质”的理由是，任何非零有理数都可以化为最简分数的形式。事实上，当人们说“任何非零有理数都可以化为最简分数的形式”时，实际上是针对一个独立存在的或者说是不会引起矛盾的分数表达式而言的。但是，对于√2=p/q（p和q都是整数）而言，等式两边不相等，因此，等式的右端处于矛盾的关系中，也就是说，表达式“p/q（p和q都是整数）”在√2=p/q（p和q都是整数）中徒有分数之名，而无分数之实。试问，在这种情况下，仍然应用“任何非零有理数都可以化为最简分数的形式”进行推理，有何根据，是否合理？答案是否定的。笔者认为，“不妨设p与q互质”是个根本性的错误，理由是，它把√2=p/q（p和q都是整数）换成√2=p/q（p，q 互质），就是人为的改变了问题的性质，即把有理数与无理数之间的矛盾（即√2=p/q中的p与q是否都是整数）变成了有理数内部的矛盾（即√2=p/q中的p与q是否互质），从而使得√2不是有理数的证明变为不可能。

“不妨设p与q互质”这一说法有意义吗？这让笔者不禁想起了古希腊那个著名的提问——“你停止打你的父亲了吗？”（注：这里的“你”从未打过父亲）为了应用反证法证明“你从未打过父亲”，应该“假设你打过父亲”。但是，如果补充道——“不妨假设你已经停止打父亲”或“不妨假设你尚未停止打父亲”，这就荒唐了！同样形象的比喻还有，例如，一场婚宴尚未开始，主持人便在台上问道：“亲友们，大家都吃好了吗？”——瞬间，台下哄堂大笑！看来，违背生活常识连不识字的老人和幼儿园的小朋友也骗不过。二者所不同的是，一个扮演的是复杂问语提问者的角色，另一个扮演的是复杂问语回答者的角色（注：这里是指“√2是最简分数”是对复杂问语“√2是最简分数吗？”的回答，也可以说是对复杂问语“√2是最简分数，还是非最简分数？”的回答）。（注：复杂问语是指：提问者将某些虚假的论断以承认其为真的方式隐藏在问句中来问问题，只要你回答提问，就会陷入困境——无论回答“是”或“否”，你都是在承认那些虚假的论断。复杂问语最有名的例子是古希腊那个著名的提问：你停止打你的父亲了吗？）

“不妨设p与q互质”的说法，可以归为复杂问语的逻辑错误。不过为了更容易理解起见，笔者提出一个新名词，叫做对反论题的过度假设。具体讲就是，把反论题中“对象是什么”中的“什么”换成其某个下位概念并以此作为原论题的反论题，这样的做法就叫做对反论题的过度假设（注：这个定义可以类比的扩充）。只是否定一个下位概念，并不等于否定其上位概念，所以，对反论题的过度假设是一种逻辑错误。如果我们把分数概念看作是上位概念的话，那么，最简分数和非最简分数就是下位概念。因此，把√2不是有理数的反论题√2=p/q（p，q 都是整数）换成√2=p/q（p，q 互质），即把反论题“√2是分数”中的“分数”换成“最简分数”，就是犯了对反论题过度假设的逻辑错误。

排中律是反证法的理论依据。传统证明方法把“√2是最简分数”（即√2=p/q（p，q互质））作为“√2不是有理数”的反论题，但“√2是最简分数”根本就不是命题，因为它是无意义无真假的，如何应用反证法？这是在滥用反证法！基于同理，形象的比喻是，张三从未打过父亲，那么，“张三已经停止打父亲”和“张三尚未停止打父亲”根本就不是命题，它们只是无意义、无真假的语句，“√2是最简分数”也是如此。

教科书由p²是偶数推出了p也是偶数，但这个推理的前提应该是p为整数。试问，这个推理前提是可满足的吗？回答是否定的，理由请看下面的笔者的证明。

命题：√2不是有理数。

证明：假设√2是有理数，即√2= p/q（p和q都是整数）。可先固定q是整数，于是有p²=2q²（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p²=2q²,得q²=2r²，同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无穷多个因数2，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。

说明：

①笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。

②我们要证明p和q不都是整数，正确的做法是先固定其中的一个是整数，然后通过假设另一个也是整数推出矛盾，从而否定后者是整数。相反，试图在一揽子同时认可p和q都是整数的情况下证明“√2不是有理数”是行不通的，因为这中间会出现与本文已经证明了的“√2不是有理数”相矛盾的情况（理由略），这样做只会把论证引入歧途。

③论证中出现有p=2r和r是偶数。令r=2r₁（r₁为整数），代入p=2r，得p=2²r₁。同理可得p=2³r₂（r₂为整数）。……故p含有无穷多个因数2。

毛主席说，伤其十指不如断其一指。如果我们只是为了说明√2不是有理数的传统证明方法是无效的，我们可以只考虑一个很简单的问题，这就是传统证明方法中所设立的反论题是否参与了后续推理？笔者的观点是：姑且不论反论题的设立是否正确。既然传统的证明方法把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题，那么，依据反证法，这个反论题就应该参与后续推理，否则，凭什么说反论题就是导致矛盾的原因呢？那么，这个反论题是否参与了后续推理呢？答案是否定的。理由是，当推出了p是偶数（姑且不论这种推理是否有效），根据反论题“√2=p/q（p，q互质）”中的“p，q互质”，不可能再推出q也是偶数。想想看，反论题不参与后续推理，这还叫反证法吗？简言之，√2不是有理数的传统证明方法犯了论证形式的错误，这样的证明是无效的。

√2不是有理数的传统证明方法对反证法教学会产生严重的误导作用，这就是，教师和学生会误以为，应用反证法，只要能够推出矛盾（无论什么矛盾，哪怕是与证明目的不相干的矛盾——这里指“p和q都是偶数”与“假设p和q互质”相矛盾），就表明已经证明了原论题。殊不知，如果反论题的设立是错误的，或者，即使反论题的设立是正确的，但接下来的推理包含无效推理（这里具体指：①由√2=p/q（p，q 都是整数）到√2=p/q（p，q互质）的推理；②由“p²是偶数”到“p是偶数”的推理；③由“p是偶数”到“q是偶数”的推理；④由“p和q都是偶数”与“假设p和q互素”相矛盾到“√2不是有理数”的推理，它们都是无效推理），那么，就不能说原论题得到了证明。

一个100来字的简短证明，竟会出现4处无效推理，更为不可思议的是，2500年以来还一直被奉为经典证明，真让数学界蒙羞！还好，可以理解的是，优秀的数学家未必就是优秀的逻辑学家。话说回来，即使是最伟大的逻辑学家，也不能保证他们在逻辑问题上永远正确。想想看，亚里士多德与柏拉图之间还存在分歧呢，两人总不能都正确吧？所以，学术大家（例如，毕达哥拉斯学派、逻辑学之父亚里士多德、几何学之父欧几里得、逻辑学大家罗素，或许还有柏拉图，等等，他们都曾或给出、或知道、或引述过“√2不是有理数”的“经典证明”）在最基本的概念（例如，反证法概念）甚或是常识上犯错，也就不足为奇了。

笔者于2017-1-1在“数学中国论坛”上发布了一个题名为“质疑第一次数学危机的真相”的帖子。在摘要中写道：“在推理前提——√2 =α：β（α，β互质）中，写入 “α，β互质”是不合理的，因为不相关，尤其是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能。”这个观点一直没有变化，只是在理由的表述上不断地有所改进。这个帖子在最近不到200天的时间里，浏览量已超过12600人次，平均每天浏览量超过63人次。笔者相信，星星之火可以燎原，无效证明必被有效证明所取代！

教科书是学生学习的榜样。我们的教科书不可以一味的迷信先哲，或认为书中的证明如果真有错，那也是古人的责任。如果人人都这样，那么，今天的教科书里岂不是仍然写着“太阳绕着地球转”吗？我们的教科书面对先哲的显赫权威不可以丧失独立思考的勇气和判断力。为了对学生负责，教科书的编者有责任正视出现的质疑意见，但回应需要说理。

笔者之所以如此执着，是因为：①自己是一名数学教师（已退休），对教科书中存在的严重错误有责任发声。②严谨性是数学教师必备的思维品质。因此，发现教科书在非常重要的命题上存在无效推理，就如眼中含沙，必欲除之，以求理得则心安。③教科书中的无效证明会使教师和学生对反证法产生误解，应用中有可能效仿，甚至作为为错误做法进行辩护的根据，影响深远，后果极坏。④质疑的问题涉及数学史关于第一次数学危机的准确表述：以往的表述是“是毕达哥拉斯学派首先发现并证明了√2不是有理数”，笔者认为，这不符合史实，应改写为“毕达哥拉斯学派只是最早发现了√2不是有理数，但没有证明它”。