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因杨六省老师之邀,之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述,如“杨六省:美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)等价吗?”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问,足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”、"反证法要义"、“欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则”、“质疑第一次数学危机的真相(续)”等。今天,杨六省老师又寄来一篇新作——评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明,希望借助科学网博客平台,就相关问题进行探讨,下面是杨六省老师的观点阐述,仅仅在此进行转载,欢迎数学行家对此进行点评,也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。
评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明
杨六省
菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯在《牛津通识读本:数学》中译本第37页对√2不是有理给出的证明如下:
1.如果√2是有理数,那么我们可以找到整数p和q使得√2=p/q(由“有理数”的定义)。
2.任意分数p/q都能够写成某个分数r/s,r和s不全是偶数。(分子分母连续除以2,直到至少有其中一个变成奇数。例如分数1412/1000等于706/500等于353/250。)
3.因此,如果√2是有理数,我们就可以找到两个不全为偶数的整数r和s使得√2=r/s。
4.如果√2=r/s,则2=r2/s2(等式两端平方)。
5.如果2=r2/s2,则2s2=r2(等式两端乘以s2)。
6.如果2s2=r2,则r2是偶数,即r必须是偶数。
7.如果r是偶数,那么存在某个整数t使得r=2t(由“偶数”的定义)。
8.如果2s2=r2且r=2t,则2s2=(2t)2=4t2,于是得到s2=2t2(两端除以2)。
9.如果s2=2t2,那么s2是偶数,意味着s是偶数。
10.按照√2是有理数的假设,我们已经表明√2=r/s,r和s不全是偶数(第3步)。我们之后又得到r是偶数(第6步),s是偶数(第9步)。这是一个明显的矛盾。因为√2是有理数的假设会推出明显错误的结论,所以这个假设本身必定是错误的。因此,√2是无理数。
笔者评析:上述证明与常见的传统证明方法(例如,人教版七年级下册)在实质上是相同的,只是设立的反论题有所不同:传统证明方法设立的反论题是√2=p/q(p,q互质),《读本》设立的反论题是√2=p/q(p,q不全为偶数)。所以,笔者只就上述第2、第3两条作简要的评析。
最简单有力的反驳方法莫过于以其人之道还治其人之身。如果上述证明中的第2、第3两条的思路是合理的,那么,下面的两条也应该是合理的:
2,.任意分数p/q都能够写成某个分数r/s,r和s全是偶数(如若不然,分子分母都乘以2即可,例如,分数353/250等于706/500)。
3,.因此,如果√2是有理数,我们就可以找到两个全为偶数的整数r和s使得√2=r/s。
但是,从√2= p/q(p和q都是整数)(注意:不是从“ p/q(p和q都是整数)”)怎么能够推出两个相互矛盾的结论√2=p/q(p,q不全为偶数)和√2=p/q(p,q全为偶数)呢?或者说,“√2不是有理数”怎么能够有两个相互矛盾的反论题√2=p/q(p,q不全为偶数)和√2=p/q(p,q全为偶数)呢?唯一合理的解释是,《读本》证明中的第2、第3两条是错误的,也就是说,《读本》把√2=p/q(p,q不全为偶数)作为“√2不是有理数”的反论题是错误的。大道至简。“√2不是有理数”的反论题只能是“√2是有理数”,即,√2= p/q(p和q不都是整数)的反论题只能是√2= p/q(p和q都是整数)。
最后,笔者的质疑是:√2不是有理数的反论题应该是唯一的,还是可以有多个?例如, √2= p/q(p和q都是整数),√2=p/q(p,q互质),√2=p/q(p,q不全是偶数),等等,它们是等价的吗?
以下是笔者的证明。
命题:√2不是有理数,即√2= p/q(p和q不都是整数)。
证明:假设√2= p/q(p和q都是整数)。可先固定q是整数,于是有p2=2q2(q是整数)。p不能是奇数,因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2,同理,q是偶数;同理,r是偶数;等等。这样,p将含有无穷多个因数2,这与p是偶数的假设矛盾,说明p不是偶数。所以,p不是整数,命题得证。
说明:在证明中也可以固定p是整数。由于我们要证明的是p和q不都是整数,而不是p和q都不是整数,所以,务必先固定其中的一个是整数,否则,论证将无从进行。
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