因杨六省老师之邀，之前转载过多篇关于数学教学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“

毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”等，昨天，杨六省老师又寄来一篇新作——“我以其人之道还治其人之身，如何？——试把‘√2是非最简分数’设定为‘√2不是分数”的反论题’”，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

我以其人之道还治其人之身，如何？

——试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题

杨六省

Yangls728@163.com

笔者曾对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的有效性问题，提出过6点质疑，它们分别是：

第1点质疑：设定反论题，能用某个下位概念去代替上位概念吗？

第2点质疑：设定反论题，可以违反“反论题假则原论题真”吗？

第3点质疑：√2=p/q（p，q互质）与√2=p/q（p和q全是整数）是等价的吗？

第4点质疑，由假设√2=p/q（p和q全是整数）能推出p和q都是偶数吗？

第5点质疑，由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能够说明√2不是有理数吗？

第6点质疑，在同一论证过程中，对于同一蕴涵关系，既应用它参与推理，又拒绝应用它参与推理，合理吗？

下面提出第7点质疑：以其人之道还治其人之身，把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题，如何？

我们要证明的是√2不是有理数，即√2不是分数。所以，原论题是“√2不是分数”，反论题是“√2是分数”。对此，人们不会有异议。问题在于，毕达哥拉斯学派把“√2是最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题是否正确？至今还没有人对毕达哥拉斯学派的做法提出异议，理由是：既然假设了“√2是分数”，而任一分数都可以化为最简分数，那么，把“√2是最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题，有什么不可以呢？笔者的做法是，以其人之道还治其人之身：既然假设了“√2是分数”，而任一分数都可以化为非最简分数，那么，把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题，有什么不可以呢？

且看如下推理：现今的人们都知道，√2=p/q中的p和q不全是整数（注：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用），所以，对于√2=p/q而言，谈论p和q是否互质的问题是没有意义的，也就是说，√2=p/q（p，q 互质）无真假可言（注：但√2=p/q（p，q 全是整数）是有真假的，它是假的）。不过，我们不妨将错就错。既然人们认为√2=p/q（p，q 互质）有真假，自然，√2=p/q（p，q 非互质）同样有真假。在这种假设下，很显然，√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p，q 非互质）是一真一假的矛盾关系。

一方面，因为“√2是分数”为假，于是，人们以为，可以推出“反论题”√2=p/q（p，q 互质）为假。又因为√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p，q 非互质）是一真一假的矛盾关系，所以，又可推出√2=p/q（p，q 非互质）为真。

另一方面，因为“√2是分数”为假，于是，人们以为，可以推出“反论题”√2=p/q（p，q 非互质）为假。

基于上述两个方面，矛盾发生了：既可推出√2=p/q（p，q 非互质）为真，又可推出√2=p/q（p，q 非互质）为假。

    总之，根源在于，毕达哥拉斯学派把“√2是最简分数”作为“√2不是分数”的反论题是错误的。