因杨六省老师之邀，之前转载过多篇关于数学教学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”等，昨天，杨六省老师又寄来一篇新作——√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？希望借助科学网博客，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？

杨六省∣

笔者于2022-3-7给中科院某院士（没有征得该院士本人同意，不便公开院士姓名）发了一份电子邮件，内容如下：

敬请（XXX）院士对下面这个帖子批评指正。

268个字让你确信

——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的

杨六省

Yangls728@163.com

合理的设定反论题是正确应用反证法的必要条件。如果设定反论题这一步错了，整个的证明就是无意义的了。据此我们说，下面的268个字的说理足以表明，毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的。

应用反证法务必满足“反论题假则原论题真”。毕达哥拉斯学派将√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题，正确吗？很明显，在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中，所谓√2=p/q（p，q 互质）为假，就是指“p，q 互质”为假，反之亦然。但是，“p，q 互质”为假蕴涵“p和q全是整数”，因为互质概念及其真假都是针对两个整数而言的。另一方面，原论题√2=p/q（p和q不全是整数）为真表明“p和q不全是整数”，这与“p，q 互质”为假所蕴涵的“p和q全是整数”矛盾，说明“反论题假则原论题真”不成立，故√2=p/q（p，q 互质）不是原论题“√2不是有理数”的反论题。

该院士回复：我认为该证明是对的。因为“根号2是有理数”和“根号2是两个互质的整数之比”这两个命题等价。

笔者回复：谢谢回复。不等价！敬请参阅附件第一、二点质疑。

笔者再次回复：

上一个帖子已表明，√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）并不等价，因为√2=p/q（p和q全是整数）是论题“√2不是有理数”的反论题（无人提出异议），而√2=p/q（p，q 互质）则不是。

……下面是笔者曾经准备发布而没有发布的文字。

还是举个浅显的例子吧。甲碰到朋友乙刚从饭店出来，于是问道：“吃好了没有？”

如果乙确实在饭店吃了饭，但他并没有吃好，却回答说“吃好了”，或者，他真的吃好了，却回答说“没有吃好”，这样的回答，尽管是虚假判断，但是有意义。相反，如果乙在饭店根本就没有吃饭，只是进去看了一下，在这种情况下，不管他回答“吃好了”，还是回答“没有吃好”，都是没有意义的。简言之，只有在乙确实在饭店吃了饭的情况下，甲的问话才是有意义的。同理，只有在√2是有理数（分数）的情况下，我们问“√2可以写成最简分数的形式吗？”才是有意义的，而在√2不是有理数（分数）的情况下，我们问“√2可以写成最简分数的形式吗？”就是没有意义的。事实上，√2=p/q（p，q 互质）可以被看作是对“√2可以写成最简分数的形式吗？”的一种回答，而“√2可以写成最简分数的形式吗？”是一个复杂问语，换一种说法，√2=p/q（p，q 互质）本身就蕴涵着一个复杂问语。复杂问语及对复杂问语的回答都是没有意义的。√2=p/q（p和q全是整数）虽是个假命题，但有意义，而√2=p/q（p，q 互质）则没有意义，也无真假可言，二者并不是等价的，也即，“√2可以写成分数的形式”与“√2可以写成最简分数的形式”这两种说法并不是等价的。当然，如果去掉“√2=”这种记号，那么，谁都知道，任何一个分数都可以写成最简分数的形式，反过来，任何一个最简分数都可以写成与之等值的分数。总之，我们必须审慎地领悟和区分逻辑层次方面的微妙差异，要把虚假的但有意义的的命题与没有意义没有真假的命题区别开来。再举个例子，不可以把“两人能否同时都拿到入场卷”与“两人的座位能否被安排在一起”的话题相混淆，因为如果前者是不可能的，那么，讨论后者就是不合理的。你不能因为“假设两人能够同时都拿到入场券”这个“假设”是合理的，就认为进一步的假设——“假设两人的座位能够被安排在一起”——也是合理的。列宁说得好，真理再向前多走一步，就会变成谬误。的确是这样，在前一个假设并不成立的情况下，后一个假设就是谬误。我们不妨再回到前面的例子。无论乙是否在饭店吃了饭，“假设乙在饭店吃了饭”或“假设乙在饭店没有吃饭”这两种假设在逻辑上都没有问题。但是，如果乙在饭店没有吃饭，那么，无论假设乙“吃好了”或是假设乙“没有吃好”，这两种假设都是没有意义的。

总之，毕达哥拉斯学派关于论题“√2不是有理数”所设定的反论题√2=p/q（p，q 互质），与某人在饭店没有吃饭而假设他“吃好了”或假设他“没有吃好”在逻辑上没有什么两样。同样的，25个世纪以来，普天下数学学人都相信毕达哥拉斯学派证明了√2=p/q（p，q 互质）为假，这就如同人们相信，某人在饭店没有吃饭，我们却能够证明他“吃好了”或者能够证明他“没有吃好”一样的荒谬。

大道至简。不要忽视常识。常识常常包含着大道理，它能向你指点迷津。

鉴于本帖未附作者文章，故作如下补充说明：

如果√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价，那么，它们同真同假。但由“268个字…”知，它们不可能同假。事实上，依据拙文揭示，√2=p/q（p，q 互质）无真假可言，于是，√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）同样不可能同假。总之，无论是否承认√2=p/q（p，q 互质）有真假，√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）都不能同假，故√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）不等价。