因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”、"反证法要义"等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则

杨六省

yangls728@163.com

下面关于√2是无理数的证明转引自《古今数学思想》中译本第1册第37-38页。

设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α:β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α²=2β²。由于α²为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比α:β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α²=4γ²=2β²。因此β²=2γ²，这样β²是个偶数。于是β也是偶数，但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。

笔者评析：上述证明与常见的证明方法的共同点是：都把√2是最简分数作为√2不是有理数的反论题；都认可从p²=2q²（q 为整数）可以推出p是偶数。对上述证明，笔者感到困惑的是，不知道我们究竟是要否定什么？如果是想证明α和β都是整数是虚假的，那么，在反论题中就没有必要（注：准确的说法是不应该）写入α:β是既约的这样的假设条件，也没有必要（注：同上）在推理中应用它。如果是想证明α:β是既约的是虚假的，那么，推出α和β都是偶数（姑且不论这种推理是否有效）就可以达到目的，何须再推出β既是奇数又是偶数（姑且不论这种推理是否有效）这样的结论呢？接下来的情况更让笔者感到有些意外，因为它似乎不该发生。论证的前半部分依据α:β是既约的，由α是偶数（姑且不论这种推理是否有效）推出了β必然是奇数。但是，后面呢？又放弃了对α:β是既约的这一假设条件的应用。因为如果继续应用这一假设条件的话，那么，基于α是偶数，就不会推出β也是偶数的结论。结论是，在同一推理过程中，对于α:β是既约的这一假设条件，既认可它，又不认可它，这是违反一致性原则的，这样的推理是无效的。