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因杨六省老师之邀,之前转载过多篇关于数学教学方面的论述,如“杨六省:美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q(p,q 互质)与√2=p/q(p和q全是整数)等价吗?”、“
毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”等。今天,杨六省老师又寄来一篇新作——“如何证明2的立方根不是有理数”,希望借助科学网博客平台,就相关问题进行探讨,下面是杨六省老师的观点阐述,仅仅在此进行转载,欢迎数学行家对此进行点评,也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。
如何证明2的立方根不是有理数
杨六省
yangls728@163.com
人教版《数学》七年级下册第58页,在给出了√2不是有理数的证明之后,书中写道:“用类似的方法,你能证明3√2不是有理数吗?”
想必书中是指如下证明:
假设3√2是有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得
3√2=p/q,
于是 p=3√2q.
两边立方得 p3=2q3.
由2q3是偶数,可得p3是偶数. 而只有偶数的立方才是偶数,所以p也是偶数.
因此可设p=2s,代入上式,得8s3=2q3,即
q3=4s3.
所以q也是偶数. 这样,p和q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾.
这个矛盾说明,3√2不能写成分数的形式,即3√2不是有理数.(证毕)
但笔者认为,上述证明是无效的。
笔者认为,凡是要应用反证法证明某个量不是有理数,只要你设定的反论题是最简分数形式,这个反论题就是错误的,这样的证明必是无效的,理由如下:
①对于一个上位概念(即属概念),如果它有好几个下位概念(即种概念),那么,就算你否定了其中某个下位概念,也并不能说明你否定了上位概念,这是极简单的道理。如果把有理数(分数)看作一个上位概念,那么,最简分数和非最简分数就都是下位概念。因此,就算你证明了某个量不是最简分数,也并不表明你证明了该量不是分数。所以,把“某量是最简分数”作为反论题是错误的。
②“某量不是分数”是原论题,那么,“某量是分数”就是反论题。人们认为,根据任一分数都可以化为最简分数,所以,可以把反论题“某量是分数”换成“某量是最简分数”。我们以其人之道还治其人之身:因为任一分数都可以化为非最简分数,所以,可以把反论题“某量是分数”换成“某量是非最简分数”。但这会导致矛盾,所以,把“某量是最简分数”作为反论题是错误的。
③就算认可反论题“某量=p/q(p,q 互质)”有真假,那么,“某量=p/q(p,q 互质)”为假本身就蕴涵其中的p和q全是整数,这与我们所要证明的“某量=p/q”中的p和q不全是整数是矛盾的。更何况所谓的反论题“某量=p/q(p,q 互质)”无真假可言(注:既然“某量”不是有理数,所以,“某量=p/q”中的p和q不全是整数,因此,谈论p和q是否互质是没有意义的, 也就是说,“某量=p/q(p,q 互质)”是无真假可言的)。简言之,无论是否认可“某量=p/q(p,q 互质)”有真假,把“某量=p/q(p,q 互质)”作为“某量不是有理数”的反论题,“反论题假则原论题真”都不可能成立,故把“某量=p/q(p,q 互质)”作为“某量不是有理数”的反论题是错误的。
下面是笔者关于2的立方根不是有理数的证明:
命题:对于3√2=p/q,其中的p和q不可能全是整数。
证明:我们总可以把3√2= p/q写成p3=2q3(q是整数)的形式。
① p不可能是奇数,因为奇数的立方不可能是偶数。
② p不可能是偶数。
假设p是偶数,设p=2m(m是整数),代入p3=2q3,得q3 =4m3 。显然,q是偶数,设q=2n(n是整数),代入q3 =4m3 ,得m3=2n3 。……这样下去,就会推出p和q均含有无穷多个因数2,从而说明p和q均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p3=2q3(q是整数)而言,p不可能是偶数。
综上所述,对于p3=2q3(q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于3√2= p/q而言 ,其中的p和q不可能全是整数。
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