因杨六省老师之邀，之前转载过多篇关于数学教学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“

毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——“如何证明2的立方根不是有理数”，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

如何证明2的立方根不是有理数

杨六省

yangls728@163.com

人教版《数学》七年级下册第58页，在给出了√2不是有理数的证明之后，书中写道：“用类似的方法，你能证明3√2不是有理数吗？”

想必书中是指如下证明：

假设3√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

3√2=p/q，

于是                            p=3√2q.

两边立方得                      p³=2q³. 

由2q³是偶数，可得p³是偶数. 而只有偶数的立方才是偶数，所以p也是偶数.

因此可设p=2s，代入上式，得8s³=2q³，即

                             q³=4s³.

所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

这个矛盾说明，3√2不能写成分数的形式，即3√2不是有理数.（证毕）

但笔者认为，上述证明是无效的。

笔者认为，凡是要应用反证法证明某个量不是有理数，只要你设定的反论题是最简分数形式，这个反论题就是错误的，这样的证明必是无效的，理由如下：

①对于一个上位概念（即属概念），如果它有好几个下位概念（即种概念），那么，就算你否定了其中某个下位概念，也并不能说明你否定了上位概念，这是极简单的道理。如果把有理数（分数）看作一个上位概念，那么，最简分数和非最简分数就都是下位概念。因此，就算你证明了某个量不是最简分数，也并不表明你证明了该量不是分数。所以，把“某量是最简分数”作为反论题是错误的。

②“某量不是分数”是原论题，那么，“某量是分数”就是反论题。人们认为，根据任一分数都可以化为最简分数，所以，可以把反论题“某量是分数”换成“某量是最简分数”。我们以其人之道还治其人之身：因为任一分数都可以化为非最简分数，所以，可以把反论题“某量是分数”换成“某量是非最简分数”。但这会导致矛盾，所以，把“某量是最简分数”作为反论题是错误的。

③就算认可反论题“某量=p/q（p，q 互质）”有真假，那么，“某量=p/q（p，q 互质）”为假本身就蕴涵其中的p和q全是整数，这与我们所要证明的“某量=p/q”中的p和q不全是整数是矛盾的。更何况所谓的反论题“某量=p/q（p，q 互质）”无真假可言（注：既然“某量”不是有理数，所以，“某量=p/q”中的p和q不全是整数，因此，谈论p和q是否互质是没有意义的， 也就是说，“某量=p/q（p，q 互质）”是无真假可言的）。简言之，无论是否认可“某量=p/q（p，q 互质）”有真假，把“某量=p/q（p，q 互质）”作为“某量不是有理数”的反论题，“反论题假则原论题真”都不可能成立，故把“某量=p/q（p，q 互质）”作为“某量不是有理数”的反论题是错误的。

下面是笔者关于2的立方根不是有理数的证明：

命题：对于3√2=p/q，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把3√2= p/q写成p³=2q³（q是整数）的形式。

① p不可能是奇数，因为奇数的立方不可能是偶数。

② p不可能是偶数。

假设p是偶数，设p=2m（m是整数）,代入p³=2q³,得q³ =4m³ 。显然，q是偶数，设q=2n（n是整数）,代入q³ =4m³ ,得m³=2n³ 。……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2，从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p³=2q³（q是整数）而言，p不可能是偶数。

综上所述，对于p³=2q³（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于3√2= p/q而言 ，其中的p和q不可能全是整数。