1、引言

太阳是圆的，这是普通命题；太阳必然是圆的，太阳可能是圆的，这是模态命题。下雨地就湿了，这是普通命题；我知道下雨地会湿，这是模态命题。模态命题是包含模态词的命题，必然、可能、知道、相信、将来、过去等都是模态词。  

模态逻辑是研究模态推理的学科。从太阳必然是圆的，推出太阳是圆的。从我知道下雨地会湿和我知道下雨了，推出我知道地湿了。这些都是模态推理。模态逻辑研究的一个重要目标：用系统的方法找出有效的推理，即那些前提真则结论真的推理，并且所有有效推理都能用这种方法找到。

2、模态逻辑系统

   模态联结词

模态命题逻辑是经典命题逻辑的扩充。和经典命题逻辑相比，它多了模态联结词□和◇，对这些联结词可以有不同的理解，比如必然、可能等。其中◇可以用□定义：

◇p = _df﹁□﹁p

当p是命题时，□p和◇p都是命题。这里的p可以是任意命题，包括模态命题。比如□◇p和p→◇(□p→q)都是命题。

   命题逻辑系统

模态逻辑在命题逻辑的基础上补充了一些模态公理和推理规则。有多种模态逻辑，它们的模态公理和推理规则不同，但都包括了命题逻辑的公理和推理规则。

命题逻辑包括这三个公理和推理规则：

公理

(1)  A→(B→A)

(2)  (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

(3)  (﹁A→﹁B)→( B→A)

分离规则(MP)：A, A→B / B

   模态公理和推理规则

模态公理有很多，下面是最常见的。

（K公理）□(A→B )→(□A→□B)

（D公理）□A→◇A

（T公理）□A→A

（B公理）A→□◇A

（4公理）□A→□□A

（5公理）﹁□A→□﹁□A

最常用的模态推理规则是必然化规则。

必然化规则(RN)：A / □A

（必然化规则是弱规则，只能用在定理上）

模态逻辑系统

在命题逻辑的基础上加上不同的模态公理和推理规则，就形成不同的模态逻辑系统：

系统K：K + RN

系统D：K + D + RN

系统T：K + T + RN

系统B：K + T + B + RN

系统S4：K + T + 4 + RN

系统S5：K + T + 4 + 5 + RN

包含K和RN的叫正规系统，所以上面全部都是正规系统。模态逻辑系统并不只有正规系统，不过这里只讨论这些。

推理

通过公理和推理规则得到的都是定理。记作⊢A,表示A是定理。如果除了公理和推理规则外，还使用了前提Γ的子集（Γ是命题集，可以是空集），则记作Γ⊢A，表示从Γ推出A。注意，在推理时，必然化规则只能用在定理上。因为如果它能用于任意命题，则对任意的命题A我们都有□A，这是不合理的。

3、可能世界语义

有些命题的真假，不能只看当前的情况，还看将来的情况，或者假想的其他情况。比如将来会下雨，它是真是假，就不是看现在的情况。

世界在某一刻的所有情况，称之为可能世界。可能世界之间有的存在着关系R，有的没有。下面举一个具体的例子说明是什么意思。

上面这张图有3个可能世界，分别是1、2、3。有箭头从可能世界1指向可能世界2，表示2在1的未来。没有箭头从2指向1，表示1不在2的将来。用命题p表示下雨。在可能世界1中p为假，2、3中p为真。在可能世界2中，未来会下雨是真的，未来不会下雨是假的。考虑这些命题在2的真假时，不需要考虑1的情况，因为1不是2的未来。

下面严格定义可能世界语义。

框架：F = <W, R>，W是非空集合，R是W上的二元关系。W也称之为可能世界集，R也称之为通达关系。

模型：F = <W, R, V>，V是赋值函数。V(a,b)=1或0。它表示命题b在可能世界a中的真值为1或0。

复合命题的真值由简单命题和其他可能世界的命题真值决定。不带模态词的复合命题的赋值规则和经典命题逻辑相同。这里要说明的是□A和◇A的赋值规则。

V(x, □A)=1，当且仅当，对任意的y，如果Rxy则V(y, A)=1

V(x, ◇A)=1，当且仅当，存在一个y，如果Rxy则V(y, A)=1

例子。我们把下面这个模型称之为M。

M, 1 ⊨﹁p；M, 1 ⊨□p；M, 1 ⊨□□p；

M, 2 ⊨□p；M, 2 ⊨◇p；M, 2 ⊨﹁□◇p

M, 3 ⊨□p；M, 3 ⊨﹁◇p；M, 3 ⊨﹁◇﹁p

语义后承

下面是定义。

A在模型M中可满足，当且仅当，M中存在w，V(w, A)=1

A在框架F中可满足，当且仅当，A在框架为F的某个模型M中可满足

M⊨A，即A在模型M中有效，当且仅当，M中的任意w，V(w, A)=1。

F⊨A，即A在框架F中有效，当且仅当，A在属于框架F的所有模型中有效。

⊨A，A在任何模型中都有效

Γ⊨A，当且仅当，对任意模型M和可能世界w，如果M, w ⊨Γ则M, w ⊨A。有时在⊨加下标，对模型进行限制。