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芝诺悖论升级版,你能解吗? 精选

已有 5957 次阅读 2018-12-17 10:50 |个人分类:逻辑学|系统分类:科普集锦| 芝诺悖论

阿基里斯追乌龟

这个悖论是古希腊的哲学家芝诺提出的。阿基里斯是古希腊神话里的英雄。假定乌龟在阿基里斯前面100米处,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后,当阿基里斯跑了100米时,乌龟已经向前爬了10米。当阿基里斯再向前跑10米的时候,乌龟又向前爬了1米,阿基里斯仍然落后于乌龟。总之,前者在追上后者之前必须先达到后者的出发点,可是,这时后者又向前爬了一段路了。芝诺认为,阿基里斯虽然越追越近,但永远追不上乌龟。

现在一般认为用极限理论可以解决芝诺悖论。阿基里斯追乌龟跑过的总路程为S

S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ……

S是收敛的,即虽然有无穷多项,但它们的和是有限的。可算出S等于1000/9,即在1000/9米处,阿基里斯追上乌龟。芝诺错误地以为无限多个步骤一定需要无限长的时间,混淆了项数的无穷与和的无穷。

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 炸弹悖论

在追乌龟悖论里,时间越来越小变得微不足道。而炸弹悖论里,不管时间有多小,它仍然具有同样的效果。我从卢昌海的繁星客栈知道炸弹悖论,它是这样的:有一枚定时炸弹,它将在两分钟后爆炸。将炸弹抛向仇人一分钟后将炸弹反抛给,甲半分钟后又将炸弹抛给,乙1/4 分钟后再反抛给,……,如此反复,问最后炸弹到底在谁的手上爆炸?


 走狗悖论

这个悖论我是在伽德纳的《从惊讶到思考》一书中看到的。汤姆和玛丽相隔一公里,他们彼此以每小时2公里的速度迎面步行。小狗开始时和汤姆在一起,它对两位主人同样地热爱,故在两人之间来回跑个不停。假定小狗来回跑掉头是即刻发生的,它的速度是每小时8公里。问两人相遇时,小狗跑了多少公里?我小时候就知道这道题,解法还比较巧妙。

这个悖论是把问题反过来,汤姆、玛丽和小狗从中点出发走同一路程。汤姆和玛丽以原有的速率背道而行,小狗则在两人之间来回奔跑。汤姆和玛丽相隔一公里时,小狗在哪里?

由于这个过程是原来的逆过程,看起来小狗最后应该在汤姆处。但细想一下就发现问题,假如原题小狗开始时不在汤姆处,而是在两者之间的任意一点,结果都是一样的,最后狗一定会和两人同时在中点。所以,两人背道行走的时候,到终点时,小狗可以在两人间的任意一点?


 撞球悖论

Pérez Laraudogoita1996年提出撞球悖论。和上面的悖论相比,它更物理。

有无穷多个小球沿直线排列,每个小球的质量相同,直径无限小,可看成是质点。第一个小球在0米处,第二个小球在1/2米处,第三个小球在1/4米,……。在1米处没有小球。

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一个速度为1米每秒的小球沿着直线撞向这列小球。碰撞是弹性碰撞,且这小球和其他小球的质量相同。撞到第一个小球后,它停在原处,第一个小球向前运动。相当于两个小球交换速度。1/2秒后,第一个小球撞到第二个小球,第一个小球停下,第二个小球向前运动,1/4秒后,第二个小球和第三个小球相撞……

请问:两秒后,还有小球在运动吗?

由于每个小球都将撞到一个小球,最终停下来,所以两秒后所有小球都处于静止状态。换个角度想,如果有小球在运动,必然是这列小球中的最后一个,但这里不存在最后一个小球,所以没有小球运动。

但是,根据能量守恒定律,开始有小球运动,最后也必然有小球在运动。而且从另一个角度看,两个小球相撞交换速度,效果如同一个小球直接穿过另一个小球。所以整个碰撞过程,相当于开始的那个小球穿过整列小球,继续向前运动。


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