阿基里斯追乌龟

这个悖论是古希腊的哲学家芝诺提出的。阿基里斯是古希腊神话里的英雄。假定乌龟在阿基里斯前面100米处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，当阿基里斯跑了100米时，乌龟已经向前爬了10米。当阿基里斯再向前跑10米的时候，乌龟又向前爬了1米，阿基里斯仍然落后于乌龟。总之，前者在追上后者之前必须先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。芝诺认为，阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。

现在一般认为用极限理论可以解决芝诺悖论。阿基里斯追乌龟跑过的总路程为S。

S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ……

S是收敛的，即虽然有无穷多项，但它们的和是有限的。可算出S等于1000/9，即在1000/9米处，阿基里斯追上乌龟。芝诺错误地以为无限多个步骤一定需要无限长的时间，混淆了项数的无穷与和的无穷。

 炸弹悖论

在追乌龟悖论里，时间越来越小变得微不足道。而炸弹悖论里，不管时间有多小，它仍然具有同样的效果。我从卢昌海的繁星客栈知道炸弹悖论，它是这样的：有一枚定时炸弹，它将在两分钟后爆炸。甲将炸弹抛向仇人乙，乙一分钟后将炸弹反抛给甲，甲半分钟后又将炸弹抛给乙，乙1/4 分钟后再反抛给甲，……，如此反复，问最后炸弹到底在谁的手上爆炸？

 走狗悖论

这个悖论我是在伽德纳的《从惊讶到思考》一书中看到的。汤姆和玛丽相隔一公里，他们彼此以每小时2公里的速度迎面步行。小狗开始时和汤姆在一起，它对两位主人同样地热爱，故在两人之间来回跑个不停。假定小狗来回跑掉头是即刻发生的，它的速度是每小时8公里。问两人相遇时，小狗跑了多少公里？我小时候就知道这道题，解法还比较巧妙。

这个悖论是把问题反过来，汤姆、玛丽和小狗从中点出发走同一路程。汤姆和玛丽以原有的速率背道而行，小狗则在两人之间来回奔跑。汤姆和玛丽相隔一公里时，小狗在哪里？

由于这个过程是原来的逆过程，看起来小狗最后应该在汤姆处。但细想一下就发现问题，假如原题小狗开始时不在汤姆处，而是在两者之间的任意一点，结果都是一样的，最后狗一定会和两人同时在中点。所以，两人背道行走的时候，到终点时，小狗可以在两人间的任意一点？

 撞球悖论

Pérez Laraudogoita于1996年提出撞球悖论。和上面的悖论相比，它更物理。

有无穷多个小球沿直线排列，每个小球的质量相同，直径无限小，可看成是质点。第一个小球在0米处，第二个小球在1/2米处，第三个小球在1/4米，……。在1米处没有小球。

一个速度为1米每秒的小球沿着直线撞向这列小球。碰撞是弹性碰撞，且这小球和其他小球的质量相同。撞到第一个小球后，它停在原处，第一个小球向前运动。相当于两个小球交换速度。1/2秒后，第一个小球撞到第二个小球，第一个小球停下，第二个小球向前运动，1/4秒后，第二个小球和第三个小球相撞……

请问：两秒后，还有小球在运动吗？

由于每个小球都将撞到一个小球，最终停下来，所以两秒后所有小球都处于静止状态。换个角度想，如果有小球在运动，必然是这列小球中的最后一个，但这里不存在最后一个小球，所以没有小球运动。

但是，根据能量守恒定律，开始有小球运动，最后也必然有小球在运动。而且从另一个角度看，两个小球相撞交换速度，效果如同一个小球直接穿过另一个小球。所以整个碰撞过程，相当于开始的那个小球穿过整列小球，继续向前运动。

科学花果山

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自马耀基科学网博客。
链接地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-1255140-1151981.html

上一篇：彩票悖论和科学知识
下一篇：笔记：刻画不确定性的六种方法