彩票悖论和科学知识

马耀基

彩票悖论

现在有一百万张彩票，假设分别是彩票1号、彩票2号、彩票3号……。只有一张会中奖。现在从中随机抽取一张，假设是1号，你相信这张彩票中奖会中奖吗？

这张彩票中奖的几率只有百万分之一，而不中奖的可能性高达999999/1000000，所以我相信它不会中奖。

但如果相信1号彩票不会中奖，那同样的理由也会相信彩票2号、3号、4号等其他彩票都不会中奖了，这会导致相信所有彩票都不中奖。但这是不可能的啊，显然有一张彩票会中奖的。哪里出问题了？

上面所说的推理涉及到了信念的性质。关于信念，有3条看起来很合理的规则：

1、很可能为真的命题，我们就会相信它；

2、如果相信命题A，相信命题B，相信命题C……，那么也相信这些命题联合起来推出的结论；

3、不相信矛盾的命题。

（把上面规则中的相信改为接受，就变成知识接受的三条规则。下文有的地方混用相信和接受这两个概念。）

为了更清楚，按照这几条规则，把上面的推理重述一遍。根据第一条规则，我们相信1号彩票不中奖，相信2号彩票不中奖，相信3号彩票不中奖……根据第二条规则，我们相信所有彩票不会中奖。由题目我们又相信有一张彩票中奖。我们的信念出现矛盾，这不符合第三条规则。

所以彩票悖论说明，这三条规则同时成立会导致矛盾。

彩票悖论虽然讨论的是信念的问题，但它涉及到我们对科学本质的认识。在科学研究中，可信度高的科学假说被接受为科学知识。如果我们只能接受单个的科学命题，而不接受由这些命题共同推出的结论，科学知识就如同一盘散沙，科学的大厦就会崩溃。所以必须弄清楚这个悖论是怎么回事。

“相信”是一个模糊概念

关于信念的三条规则不能同时成立，必须抛弃或修改其中一条。看上去，第三条是不能放弃的，因为一个理性的人不会相信矛盾的东西，所以修改的只能是第一条或第二条规则。

容易想到的是将第一条规则改为：当我们认为一个命题绝对可靠时，才会相信它。这样信念就不会再出现矛盾了，彩票悖论也消解了。尽管每张彩票中奖概率极小，但还是中奖的可能，所以我们不会相信它不中奖，因此不会导致相信所有彩票都不中奖，悖论消失了。

确实，我们有时相信的是绝对正确的事情，比如相信1+1=2。上面那样修改第一条规则，对于数学是合适的。我们完全相信数学公理，也完全相信从这些公理推得的数学定理。

但在日常生活中，绝对为真的情况太少了。你有一个朋友，长期以来与人为善助人为乐。你相信他是一个好人，但理论上也存在这种可能：他在背着你偷偷做坏事。难道因为这种理论上的可能，你就不相信他是好人了吗？

还有更极端的情况，如笛卡尔说的那样，现在你所坐的椅子你前面的桌子，对你来说如此确定无疑，它们就一定是真实的吗，你怎么知道你不是在做梦呢？

科学理论也是如此。牛顿力学如此的成功，我们用它能算出行星的轨道，能发射火箭，能把人送上月球，但它也只是近似正确，也不是真理，最终被爱因斯坦的相对论取代。相对论就是真理了吗？未必是。只是目前它通过了实验的检验，因此我们现在相信它。

相信是一个程度问题，比如和科学猜想相比，我们更相信科学知识。日常生活中所说的相信指的是相信度高，不相信是相信度低。相信数学的那种完全相信，以及对逻辑矛盾的完全不相信，都是相信的特殊情况。大多数情况下我们的相信度处于完全相信和完全不相信之间。我们不相信明天会发生台风，不相信会发生地震，不相信某张彩票不会中奖，实际上是说我们相信它们发生的可能性很小，而不是说相信其绝对不可能发生。

“相信”是一个模糊的概念，就如同高个子和矮个子是个模糊概念一样，并无清晰的界限说明身高多少是高个子，也没有清楚的界限说多大程度的相信才叫相信。    

模糊悖论的分析

模糊概念会产生反直觉的结论，著名的有秃头悖论，序言悖论。

秃子悖论有两个前提：没有头发的人是秃子，一个秃子多一根头发还是秃子。这两个前提看上去是合理的，但从它们可推出所有的人都是秃子。因为从前提可得，有一根头发的人是秃子，而秃子多一根头发还是秃子，所以有两根头发还是秃子，再多一根头发还是秃子，所以三根头发的是秃子，由此类推，所有人都是秃子。

有人可能说，秃子指的是没有头发的人，有一根头发就不是秃子了。这种回应无法处理其他类似的悖论。比如矮个子悖论：一米高的人是矮子，矮子高一毫米还是矮子，由这两个前提得所有人都是矮子。

再说说序言悖论。作者往往在其著作的序言中说，“书中出现的所有错误都是我自己的责任”。作者写作时已经认真检查过每一个句子，相信其正确才会写进书里。另一方面，根据经验他又认为不可能整本书都没有错误。相信每一句话正确，而又相信书里存在错误，这就构成了矛盾。

上面这两个悖论的根源都是模糊概念。

秃头是个模糊的概念。一个有100根头发的人是不是秃子？有1000根头发呢？很多时候难以明确地判断他是不是秃子。让我们引入“秃头度”这个概念。秃头度的取值从0到1，没有头发的人秃头度是1，头发浓密茂盛的秃头度是0。生活中我们说的秃头是指秃头度很高的人。一个秃子多一根头发，秃头度就有轻微的下降。头发越来越多时，秃头度逐渐接近0，再也不是秃子了。

类似地，对于作品中的任意一句话，作者对它的相信度很高。当它们合起来时，可信度就逐渐下降了。至于整本书，作者对其全部正确的相信度就很低了，即相信其中有错误。

同样，“一号彩票不中奖”这个命题的可信度很高，“二号彩票不中奖”的可信度也很高……但把它们合起来的可信度就很低了。

换句话说，我们应该抛弃上面的信念三条规则中的第二条。

模糊概念引起的问题本质上是个语言的问题，不是逻辑问题。理论上可以取消模糊概念。比如取消高个子这个概念，直接说张三的身高是2米，而不只说他是高个子，这样悖论就不会出现。当然现实中这会带来不方便，因为我们往往不知道张三的身高是多少，更不清楚他有多少根头发。

科学知识是一张巨大的网

按上述的分析，我们放弃第二条信念规则。接受各个单个的命题，但不接受它们联合起来得到的结论。这是否会导致科学知识变成一盘散沙呢？各个科学命题如同断线的珍珠，散落各处？这明显与真实的科学实践不符啊。

注意，放弃第二条规则是指，当我们相信各个命题时，不一定相信从它们的合取得到的逻辑推论。是“不一定相信”，而不是“一定不相信”。（什么是命题的合取？命题A和命题B的合取就是命题“A并且B”。）为什么？当各个命题的可信度高时，这些命题的合取可信度有可能低，也有可能高，要看具体情况而定。这是说第二条规则不是普遍成立的，但有时仍有效。

如果各个命题是独立的，虽然每个命题的可信度高，但合取可信度变低了。

如果各个命题互相支持，那它们的可信度比命题间无联系时更高。科学理论通常都属于这种情况。比如元素周期表和量子力学这两个理论，因为量子力学解释了元素周期表，所以它们各自的可信度都变得更高了。在这种情况下，第二条规则仍然适用，我们相信单独的理论，也相信这些理论合作得到的知识。

科学知识包括了无数的命题，一个命题是一个节点，节点间相互联结，构成了一张巨大的网。每个节点都不是绝对可靠的，但由于节点间相互支持，使得这张网更牢固更值得信任。

如果科学之网的某些节点发生了冲突，那怎么办？我们会将原来的一个或几个节点驱逐出去，换上新的节点。换句话说，在科学中出现矛盾会导致一个理论或几个理论的可信度下降，我们要对它们进行修改。而不是接受原来的命题，而不接受它们的推论。

 比如，在19世纪下半叶，麦克斯韦建立了电磁学理论。而那时人们普遍相信绝对时空观和相对性原理。（相对性原理是指，在封闭的惯性系中，我们无法通过实验判断这个惯性系是静止还是运动。）这样，电磁理论、绝对时空观、相对性原理的可信性都很高。但根据电磁理论，光在真空中的速度是绝对的，这使得三个理论无法共存。一开始，人们抛弃的是相对性原理，后来爱因斯坦独具慧眼，抛弃了绝对时空观，建立了相对论。

当不同的科学理论出现矛盾时，人们不会再相信它们，如果一时找不到合适的理论，就先限定理论的适用范围，而不会既相信这些理论又不相信它们联合起来得到的推论。比如二十世纪初，经典电磁学和玻尔的原子模型是矛盾的。按玻尔的模型，电子在特定的轨道上围绕原子核转动，而按经典电磁学，这样的模型是不稳定的，因为如此运动的电子会辐射电磁波，消耗能量，最后电子会掉到核上。这时科学家将这两个理论的应用限定在特定的领域内，直到后来发展出量子电动力学取代它们。

总之，一般来说第二条规则在科学中仍然适用，亦即三条规则在科学研究中都成立，因为科学的目标是织一张节点间互相支持的不存在矛盾的知识之网。 

总结

彩票悖论和序言悖论使我们放弃了信念的第二条原则，从而有可能相信每一个命题但不相信它们的合取。因为有可能出现这种情况，每个命题的可信度很高，但从这些命题联合起来推出的结论可信度很低。虽然第二条原则不再普遍成立，但在很多情况下它仍然是有效的，比如在科学中。

命题之间的关系有三种：独立的，互相支持的，相互间存在矛盾的。

如果命题之间相互独立，则它们的合取可信度下降。这时有可能相信所有单个的命题，但不相信它们的合取。

如果命题间互相支持，则单个命题可信度会比这个命题单独存在时的可信度高，命题合取的可信度也有可能上升。

如果命题间出现矛盾，则要看具体情况。在彩票悖论中，每个命题的可信度都很高，但它们的合取可信度为0。在科学中，这种情况会导致原来的命题可信度下降，使得我们不再相信它们。

这三种情况有点类似人们在社会中的情况。如果每个人都是独立的，相互没有联系，那所有的人都生存下去的可能性会比一个人生存的可能性低。如果互相合作，则每个人生存的概率都会上升。如果是相互拆台互相残杀，则每个人的生存几率都下降。

科学花果山