说谎者悖论：从鳄鱼难题到数学证明的极限

马耀基

说谎者悖论

母亲和孩子去动物园玩，孩子不小心掉到鳄鱼潭里了。鳄鱼要把孩子吃掉，这时母亲苦苦哀求。鳄鱼对母亲说，你猜猜我下一步要做什么？猜对了我就放过他，猜错了我就吃掉他。

母亲应该怎样说呢？她的处境很凶险，如果你说鳄鱼站着它就躺下，如果说鳄鱼躺下它就站着。鳄鱼似乎总是能让你说错，然后吃了孩子。怎么办呢？

这个母亲很聪明，她说：你会吃了他。

母亲的猜测是对是错呢？鳄鱼陷入了两难境地。

如果母亲说对了，那鳄鱼应该放了他。但放了他，就与母亲的话不符，因为母亲说鳄鱼会吃了他的儿子。这样她的猜测就是错误的。

如果说母亲的话是错的，鳄鱼应该吃掉儿子。但一旦吃掉儿子，说明母亲的话又是正确的。

不管怎样，鳄鱼都无法实现自己的诺言，陷入两难，处于纠结中。

这个故事里母亲实际上是说：我说的是错误的。这句话构成了著名的说谎者悖论。古希腊人在两千多年前提出了说谎者悖论，标准的说谎者悖论是这样的：

我正在说谎。

或者是：

本语句是假的。

从它是假可推出它是真，从它是真可推出它是假。

要注意的是，说谎者悖论不同于自相矛盾。同时拥有能刺穿一切的矛和能抵挡一切的盾，这是不可能的，所以它是假的。而“本语句是假的”却不能是假的，因为会推出它是真的，但如果是真的也不行。

强化版说谎者悖论

“本语句是假的”，看上去是病态的句子，正常情况下我们不会这样说话。所以有人认为这句话虽然合乎语法但是无意义的，如同“无色的绿色在愤怒地睡觉”这句话一样。还有人认为这句话有意义，但它既不真又不假，属于真假之外的第三种情况，我们把这种情况叫非真非假。通常一句话不是真的就是假的，但现在不同，一句话不是真的，则它可能是假的，也可能是非真非假的。

但这两种思路都无法真正解决问题，因为我们能构造新的说谎者悖论。对无意义论，新说谎者悖论是这样的：

本语句要么是假的，要么是无意义的。

如果这句话是真的，可推出它不是真的。如果它是假的，可推出它是真的，所以不是假的。如果它是无意义的，可推出它是真的，所以不是无意义的。

对非真非假论，新说谎者悖论是这样的：

本语句不是真的。

从它是真的推出它不是真的，从它不是真的推出它是真的。

说谎者悖论的特征

   自指和否定

不难看出，前面那些构成悖论的句子都有两个特征：自指和否定。 “本语句是假的”，其中“本语句”是自指，“假”是否定。

如果我们禁止一个句子同时包含自指和否定，是不是就不会出现悖论了？就会把所有病态句子都切除了？

很明显，一个包含自指和否定的句子未必构成悖论。比如，“本语句不是假的”，“本语句不是由英文字母构成的”，这些话都不构成悖论。所以切除所有自指否定的句子，会切除过多。

现在的问题是，说谎者悖论一定要包含自指和否定吗？

间接自指悖论

张三和李四两人各说了唯一的一句话。张三说：李四在说谎。李四说：张三说的是真话。

如果张三说的是真话，则推出他说的是假话。如果张三说的是假话，则推出他说的是真话。李四的情况也是这样。所以这里也有悖论。

张三的话虽然表面上不包含自指，他没有说自己怎么样，而是在说李四，但是李四却在说张三的情况，所以虽然不是直接自指，但这是间接自指，还是自指。

上面这个悖论是明信片悖论的变体，明信片悖论是指明信片的正面和背面各写了一句话，分别是“背面的话是假的”和“正面的话是真的”。

明信片悖论还可以扩展成这样，若干个句子按顺序排列：

语句0：语句1是假的。

语句1：语句2是假的。

语句2：语句3是假的。

…………

语句n-1：语句n是假的。

语句n：语句1是真的。

只要出现奇数个假的，而最后一句是“语句1是真的”，就会出现恶性循环，构成悖论。

   无自指悖论

雅布罗在1993年提出了一个不包含自指的悖论， 有无穷多个语句按顺序排列如下。

语句1：后面所有的话是假的。

语句2：后面所有的话是假的。

语句3：后面所有的话是假的。

语句4：后面所有的话是假的。

…………

这里每句话都指向后面，没有指向前面，没有出现循环，所以没有自指。

现在我们考虑语句1的真假。

如果语句1是真的。它说“后面的话都是假的”，所以语句2是假的。因为语句2是假的，则并非它后面所有语句都是假的，即语句2后面必有一个语句是真的。而这与语句1矛盾。所以语句1是假的。

如果语句1是假的。那么后面最少有一句真话，假设这句话为语句m（m>1）。现在只考虑语句m和语句m后面的语句。用和前面相同的方法，可以证明语句m为假。得到矛盾。所以语句1是真的。

从语句1的真可推出它的假，从它的假又可推出它的真。虽然没有自指，还是出现了悖论。

   无否定词悖论

吉奇在1955年提出了一个不包含否定词的悖论。吉奇悖论和其他悖论不同，不是从某句话真推出它假，然后从它假推出它真，而是可以证明任何命题，比如地球是正方形的。请看这句话：

如果本语句为真，那么地球是正方形的。

本语句指的是整句话，即“如果本语句为真，那么地球是正方形的”。吉奇指出，可以证明这句话一定是真的，从而进一步可证明“地球是正方形的”。这里“地球是正方形的”这个语句可以用任何语句代替，比如地球既是圆形又是正方形。这样的结论显然是荒谬的。具体的证明见注释1。

语言杂技

前面那些只有一句话的悖论中，都包含了“我”、“本语句”、“这句话”这类词。有一种巧妙的方法，可以不用“我”“本”“这”这一类代词实现自指。它不是用命名的方法，比如说“S是假的”，然后把这句话命名为S。这种方法是美国逻辑学家奎因先提出来的，我最早在北京师范大学张江老师（网名jake）的文章上看到。

看下面这句话：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的。

一个让人发晕的句子，你能看明白是什么意思嘛？看不懂的花几分钟琢磨一下，看能不能弄懂J。

这句话其实和“本语句是假的”是同一个意思。为什么呢？下面来分步理解这句话。

先看一句简单一点的句子：

把“逻辑”中的第一个字放到引号前面，其余的字放到右引号后面。

按句子中的指示操作我们会得到：逻“”辑。

再看复杂一点的句子：

把“逻辑”中的第一个字放到引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变。

按指示操作后得到：逻“逻辑”辑。

现在就不难理解原来那句古怪的话了。我们把原来那句话称之为A，A的前面部分是这样的：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

显然上面这句话是一个操作，我们称它为B操作。这样A相当于：B操作得到的句子是假的。

现在进行B操作，得到：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的

这句话就是A！这就是说B操作得到的句子是A。由于A是“B操作得到的句子是假的”，所以A相当于说“A是假的”。所以A实际上就是“本语句是假的”。

数学证明的极限

说谎者悖论只是我们日常语言中的悖论，如果在数学中也出现这样的问题就麻烦了。事实上在数学发展历史中确实出现过类似的悖论，比如罗素悖论。不过这里不打算细谈罗素悖论，想谈的是另一个问题。

数学强调的是证明。比如说“所有三角形内角和都是180度”这命题，不管有多少个例子支持我们都无法说它就是正确的，因为不排除以后会找到反例。

我们必须先证明一个数学命题，才能说它就是真的。这句话反过来成不成立？正确的数学命题，就一定能找到数学证明？或者说理论上一定存在一个证明吗？

逻辑学家哥德尔发现，有些正确的数学命题是永远不可能得到证明的。哥德尔的证明思路和说谎者悖论有些类似。他构造了这样一个句子：

本语句不能在数学中得到证明。

假设它是假的，那么可以在数学中证明它。而在数学中得到证明的命题都是真的，所以这句话是真的。与假设矛盾，所以这句话一定是真的。

而从这句话是真的，无法推出矛盾。

所以它是真的，但不能在数学中得到证明。

这就是大名鼎鼎的哥德尔定理，它说明了数学证明的能力极限：有些真的数学命题是无法证明的。

你可能会说，这和数学有什么关系啊？因为“本语句不能在数学中得到证明”能够翻译成数学命题。那为什么不把“本语句是假的”翻译成数学命题呢？这样的翻译是无法做到的，否则数学就有矛盾了。(注释2)

它们是说谎者悖论吗

1、课堂上，老师说：没有绝对正确的真理。请问这句话是绝对的真理吗？

2、罗素和摩尔都是著名的哲学家。罗素认为摩尔是他认识的人中最诚实的一个。有一次他问摩尔：你这辈子说过谎吗？摩尔回答，说过。罗素在回忆这件事时说，这是摩尔这辈子说过的唯一一句谎话。这里有没有出现说谎者悖论？

3、逻辑学家斯穆里安小时候发生过这样一件事。愚人节那天早上，哥哥对他说，今天我要骗你。到了晚上，他还翻来覆去睡不着觉。母亲问为什么，斯穆里安说在等哥哥骗他。母亲就对哥哥说，你就骗骗他吧，让他早点睡觉。哥哥笑了，你一直盼望着我骗你，而你的期望落空，说明你已经被骗了。但斯穆里安想，如果说哥哥已经骗了我，则我的期望实现了，说明他没有骗我！

哥哥究竟骗了斯穆里安没有？

4、斯穆里安有次去应聘一个推销员职位。面试时有这样一个问题：你对偶尔说谎反感吗？斯穆里安对说谎很反感，尤其反感那些将自己的商品吹得天花乱坠的推销员。但如果说真话他将得不到这个职位，所以他当时撒谎了，回答不反感。

后来他想，我面试时说谎了，但我并不反感。可见，我对偶尔说谎不反感。这说明我面试时说的不是假话，是实话。

如果是实话，那我对这句话当然不反感。而我对说谎一直反感，这又说明我面试时说的是假话。

请问，斯穆里安究竟说谎了没有？

注释

  （1）吉奇悖论的推理。

我们现在来证明任意命题为真。把“如果本语句为真，那么地球是正方形”的这句话称为S,它可表示为：

S：如果S为真，那么地球是正方形的。

下面先来证明S：

假设S是真的。按照定义，“如果S为真那么地球是正方形的”是真的，又因为S是真的，所以“地球是正方形”是真的。（看上去有点复杂，逻辑其实很简单，比如，“明天有台风”是真的，“如果明天台风那么不用上课”又是真的，那“明天不用上课”就是真的。）

即在假设S成立的前提下，得到地球是正方形是真的。这就证明了“如果S是真的，那么地球是正方形”。而按照定义，这句话就是S，即证明了S。

再来证明“地球是正方形的”。

在上面，证明了S，所以S和“如果S为真那么地球是正方形的”都是真的，所以“地球是正方形的”是真的。

在上面的证明中，“地球是正方形的”可换成任何语句。

（2）有几点要补充说明：a. 这里说的只是证明的关键思路，真正的证明是很复杂的，把“本语句不可能在数学中得到证明”翻译成数学命题就很困难。如果第一个证明这个定理，就能成为最伟大的逻辑学家之一，你说难不难。b. 刚刚我们用日常语言证明了它是真的，这个证明不是数学上的证明，否则就出现悖论了。因为证明了它是真的，如果这是数学上的证明，而它又说自己不可能得到数学上的证明，所以它说的是假的，因此它是假的。c. 那句话不能改成“本语句不可证”，因为把“数学上的证明”这个要求去掉会出现悖论，理由刚刚说了。d. 为了简单，正文使用了“本语句无法在数学中证明”这句话，实际上必须指明具体的数学系统，比如“本语句无法在皮亚诺算术系统中证明”。

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