算术

      数学可以还原为算术，而算术可归结为皮亚诺系统的几条公理。

皮亚诺算术系统：

1、0是自然数

2、m是自然数，则m’是自然数

3、0不是任何数的后继

4、若m’=n’，则m=n

5、数学归纳法：

A(n)表示自然数n有性质A。如果A(0)成立，并且从A(n)可推出A(n’)成立，则对所有的n，A(n)成立。

说明：m’是m的后继运算，m的后继也是一个数。第一第二条是生成自然数的方法。第三条是避免出现自然数的顺序出现循环。比如0’=1，1’=2，2’=3，3’=4，4’=0，这样就出现012340123这种情况。第四条是说任何非0的自然数只有唯一的前驱，避免出现0’=1，1’=2，2’=3，3’=1，从而出现0123123这样的情况。第五条使自然数集合限制在1和2产生的自然数，避免0.2、0.3这类“流氓”元素混到自然数集合里。

在这基础上，我们可以将自然数集合扩充成整数、有理数、实数，可以定义加减乘除幂指对数运算等。比如加法的定义：(1)m+0=m；(2)m+n’=(m+n)’。乘法的定义：(1)m×0=0；(2)m×n’=m×n+m。

用集合构造算术

空集是没有任何元素的集合，即{ }，又记作∅。

我们在集合上也定义后继运算：m’ = m∪{m}

用集合定义自然数：

0 = ∅

1 = {0}

2 = 1∪{1} = {0,1}

3 = 2∪{2} = {0,1,2}

4 = 3∪{3} = {0,1,2,3}

……

将< 定义为：m<n =_df  m∈n。所以，0<1<2<3<……。

在集合论中有这样一条公理：所有的自然数形成一个集合。

在集合论中可以证明，这样定义的自然数满足皮亚诺的五条公理。既然数学可以还原为算术，现在算术可以还原为集合，现在我们说数学可以还原为集合。

说明

上面用集合定义自然数，相当于给集合取名字。∅的名字是0，{∅}的名字是1。并不是说两者真的相等，是同样的事物。否则会产生疑问，1 = {0}怎么会相等呢，左边是一个数右边是一个集合？

不能将数字理解为有结构的，比如我们通常所说的数字2是由0和1组成的，是它们的集合，就像水分子是由两个氢原子和一个氧原子组成。这是完全不同的两回事。

集合构造算术的关键在于，这样构造出来的集合，刚好满足皮亚诺公理。所以我们研究集合，就可以弄清算术的性质。这种构造方法并不是唯一的，只要它们满足皮亚诺公理就行。这和水分子的构成成分是一定的不同。