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道可道，非常道-浅谈代数拓扑

已有 9876 次阅读 2015-10-1 12:56 |个人分类:数学天地|系统分类:科普集锦

“道可道，非常道。名可名，非常名。”中国古典智慧一直将科学保留在玄学状态，强调“只可意会，不可言传”的意境，依赖学子的“悟性”。古代哲学的概念无法直接复制和操作，“运用之妙，存乎一心”；现代数学恰恰相反，她竭尽全力将抽象晦涩的理念用明晰确切的语言，毫无歧义地表述出来，并且能够设计出通用普适的算法，使得一切理论结果都可以在计算机上操作，复制。代数拓扑就是将“妙不可言”的拓扑，用代数来“可言”，甚至“可算”。

拓扑是一个非常近现代的概念。直观而言，我们可以想象一个由橡皮膜做成的曲面，通过拉伸收缩，扭曲缠绕，能够形变到另外一个曲面，并且形变过程中，曲面不撕裂，不粘连，则我们说这两个曲面拓扑等价。拓扑天然具有可视化的特性，但是人类语言对于形状形变的描述能力低下，多数停留在比喻意会的层面，用心理感受来代替客观表示，例如“婀娜娉婷，烟视媚行”，“不可名状”，“如鬼魅闪电”等。对于形状形变的精确描述必须借助现代数学语言，例如曲面的拓扑如何，黎曼度量如何，平均曲率如何，嵌入方式如何等，虽然枯燥，但是精确无歧义。

代数（algebra）的历史非常古老，自从人类结绳记事，代数就已经开始。代数（algebra）和算法（algorithm）两词同源，类似的词包括算盘（abcus），其核心都是通过制定特定的运算规则和一系列的算法程序，通过计算来得到求出结果。代数程序的特点是不需要神乎其技的直觉，不需要虚无缥缈的悟性，只要遵循朴实无华的机械步骤，任何人都y有可能得出人意料的深刻结果。

代数拓扑，顾名思义，就是用代数的方法来研究拓扑。

动机直觉而言，解决拓扑问题一般借助于视觉的想象。但是很多时候，拓扑问题非常抽象复杂，轻易超乎人类的想象力，并且直觉也不再可靠。这需要我们发展出一套严密的方法，用逻辑和计算来取代直觉想象。代数拓扑就是这种方法，她的深刻和强大，无论怎么评价都不为过。

用途代数拓扑可以计算拓扑空间的拓扑不变量，从而判定两个空间是否拓扑等价，例如判定扭结同痕，曲面上封闭曲线同伦。拓扑不变量可以进一步将所有拓扑空间分类，例如所有可定向的紧曲面分类，底流形上的矢量丛分类。如果固定两个拓扑空间，考察它们之间所有的映射，代数拓扑方法可以区分映射的同伦类。例如，给定曲面到自身的两个同胚，判定它们是否同伦。代数拓扑可以解决不动点的存在性和个数问题。许多计算问题最后归结为求解某种不动点：例如大多数的优化问题，解代数方程组问题，解某些偏微分方程等。代数拓扑可以用于判断某种几何构造的全局存在性。具体言之，流形上许多几何结构都局部存在，但是整体存在性可能有拓扑障碍，拓扑障碍的精确描述和判断需要拓扑语言，特别是上同调理论。例如，紧黎曼面上局部存在非常值的全纯函数，但是整体全纯函数必为常数，这一点可以由层的上同调来描述。再如，曲面上处处非零的光滑切矢量场的存在性，曲面仿射结构，射影结构的存在性，纤维丛中全局截面的存在性。

局限将拓扑问题翻译成代数问题，很多时候翻译方式并不唯一，不同的翻译方式有不同的侧重和忽略。绝大多数的翻译方式都不可避免地带来信息的丢失。保留信息较多的方式通常也比较难以计算，往往导致NP难问题。比如，同伦群保留信息较多，但是难以计算；同调群保留信息较少，容易计算。对于曲面，两者的表达能力等同；对于三维流形，同伦群同构等价于流形同胚，但是存在不同胚的流形具有相同的同调群。

从根本上而言，代数拓扑的本来目的是用群环域来表示全部的拓扑不变量；换言之，我们希望发展处如下的理论：两个流形拓扑等价（拓扑同胚），当且仅当它们对应的代数结构同构。不幸的是，目前的结果弱于我们的理想，只能做到：两个流形同伦等价，当且仅当它们对应的代数结构同构。

手法数学研究中一条通用原则就是：如果我们走投无路，就想方设法为所研究的对象结合一个群，通过考察群的结构来找出研究对象的蛛丝马迹。代数拓扑将这一手法运用的淋漓尽致。她为拓扑空间赋予一系列的群，这些群的结构反映了空间的拓扑性质。拓扑空间之间的拓扑映射诱导了群之间的同态，群同态的行为特征反映了拓扑映射的特质。这一手法被抽象为艰涩的范畴论语言，装神弄鬼，故弄玄虚。拓扑空间和拓扑映射组成了所谓的拓扑范畴{拓扑空间，拓扑映射}，群和同态组成了代数范畴{群，群同态}。代数拓扑的手法定义了从拓扑范畴到代数范畴的一个态射，此态射将拓扑空间映成了群，把拓扑映射变成了群同态。至为重要的是，这个态射是“函子”的，这意味着这种范畴间的转化是“保结构的”，信息被尽量保留。这一态射的意义在于将“玄而又玄”的拓扑，变成了朴实无华的计算。

范畴间函子的态射是数学中的常用手法。我们在此另举一例：我们考察{黎曼面，保角映射}范畴到{域，域同态}范畴的态射。一个黎曼面上的所有亚纯函数构成一个域，如果两个黎曼面共形等价，则它们对应的亚纯函数域同构。通过代数几何的手法，我们可以判断两个代数域是否同构，从而判别黎曼面间是否存在保角双射。

内容我们可以为流形赋予各种群结构，比较常见的包括同伦群，单纯上下同调群，de Rham上同调群，调和微分群，曲面映射类群等等。下面我们以二维封闭曲面为例来解释这些群。

同伦群理解同伦群的诀窍是考察圈是否能够缩成一个点。如果所有的圈都能缩成点，则曲面必为球面。这一结论在三维流形上的推广，就是鼎鼎大名的庞加莱猜测。这一结论的严格数学阐发，就是同伦论。我们考察曲面上过固定点的所有封闭环路（圈）。如果不脱离曲面，一个圈可以逐渐形变成另外一个圈，则这两个圈彼此同伦等价。两个圈可以次第连接，形成一个大圈，如此我们定义圈和圈之间的乘法。{圈的同伦类，乘法}构成了所谓的曲面同伦群。同伦群的概念平易近人，言简意赅，它的结构却异常丰富，全面反映曲面拓扑。如果同伦群平庸（即只有单位元），则曲面必为球面。如果同伦群可交换，则曲面必为轮胎。如果同伦群存在有限阶的子群，则曲面必不可定向。同伦群的生成元的个数等于曲面亏格的二倍。同伦群的每一个正规子群都对应着一个覆盖空间，其商群对应着覆盖空间的覆盖变换群。但是，同伦群不可交换，难以计算。

单纯同调群理解下同调群的诀窍是考察圈是和边的差别。曲面上的任意一个区域的边界必然是封闭曲线（圈），但是曲面上任意一个圈未必是某个区域的边缘（边），两者的差别就是同调。如果曲面上所有的圈都是边，那么曲面必然是球面。这一观点的严密代数化，就是同调群。两个圈如果相差一个边缘，则它们是互为同调的。所有同调类在加法的意义下成群。同调群是同伦群的简化版，同调群都是可交换群，因此理论上同调运算可以完全由线性代数所胜任。所谓单纯就是简单，这里是指所有的概念都是定义在曲面的三角剖分之上的：曲面区域表示成有向面的并集，封闭曲线表示成有向边的队列，边缘算子表示成线性矩阵。同调群的计算最终归结为代数矩阵运算。

德-拉姆（de Rham）上同调群理解上同调群的诀窍是考察无旋场和梯度场的差别。德-拉姆上同调群是定义在微分形式上的。如果曲面具有黎曼度量，我们可以将微分形式等价地理解为切矢量场。取曲面上任意函数，其梯度场的旋量必处处为零。但是，曲面上任意一个无旋场未必是梯度场。无旋场合梯度场之间的差别就是上同调。两个无旋场如果相差一个梯度场，则它们是互为上同调的。所有上同调类在加法的意义下成群。我们可以沿着封闭曲线在矢量场里积分，因此上，下同调群互为对偶。

调和微分上同调群调和矢量场是曲面上旋度为零，散度为零的矢量场。所有调和场在加法意义下成群，被称为是曲面的调和微分群。每一个上同调类中存在一个唯一的调和场，因此调和微分上同调群和de Rham上同调群彼此同构。

Figure 亏格为二的曲面上调和微分1-形式群的基底。

计算方法 代数拓扑的计算主要有组合，符号，代数和数值计算方法。组合方法在三角剖分上施展，将三角剖分视为图，用图论的深度优先和宽度优先算法，明晰高效，但是需要复杂的数据结构和较高的编程技巧。符号计算主要用于判定曲线同伦类，或判定群是否等价，搜索空间可能会出现指数爆炸，较少采用。代数方法用整数矩阵的Smith Norm来求同调群的生成元，方法普适，能够处理任意维的流形，但是算子矩阵阶数很高，计算时间和空间复杂度高。数值计算主要用于在曲面上解偏微分方程，求得调和微分。这种算法的稳定性和收敛性依赖于曲面三角剖分的质量。

美学体验 代数拓扑具有巨大的美学价值，她从虚幻到实证，从具象到抽象，从微观到宏观，从多样到统一。虚幻到实证：代数拓扑的语言非常凝练，她能够把许多玄妙直观，虚无缥缈的概念精准地表达出来。比如，所有人都承认：不同维数的空间彼此拓扑不等价，但是在代数拓扑发明之前，无人能够给出严格的数学证明。只有用代数拓扑的方法，我们才能证明这一“显而易见”的命题。具象到抽象：单纯拓扑的构造依赖于三角剖分的选取，但是同调群的定义却是独立于三角剖分。这种从具象到抽象的升华，在代数拓扑中比比皆是。局部到整体：代数拓扑给出了从局部构造到整体构造的本质障碍，这种宏观微观自由转换的理论工具独一无二，浑然天成。多样到统一：上同调群可以表示成由曲面的微分结构定义的德-拉姆同调群，或者曲面上调和分析所定义的调和微分群，或者曲面三角剖分的组合所得出的单纯同调群，不同的表示依赖于不同的几何结构，适用于不同的几何问题，但是这些群却又彼此同构。

代数拓扑是学习现代几何的基石，其内在思想简单明了，其计算方法初等直接，其审美体验强烈深刻。她意蕴深远，功能强大，易于入门。在后面的章节，我们将详尽介绍同调同伦的理论和算法。

8.玄之又玄，众妙之门-吴文俊示嵌类思想浅析

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