前日，和师兄刘克峰教授（国际超弦理论大师）闲聊，刘师兄说“其实你用的都是模空间的几何，也是我最感兴趣的课题，很深，很难。我告诉我的学生，模空间上的任何结果都可以流传下来。”我们又谈对微分形式的感受，和陈省身先生当年的评价。

陈省身先生曾经说过“矢量场像男人，微分形式像女人”。全纯微分像清纯少女一样，目光澄澈，笑容灿烂，光滑柔顺，婀娜曼妙；全纯微分又像成熟女人一样，复杂敏感，波云诡谲，妖魅冶艳，变幻莫测。她在黎曼面上烟视媚行，回眸顾盼，勾魂摄魄，万种风情，令多少代数学家神魂颠倒，意乱情迷。

克峰师兄又说到 “陈先生的下句话是：微分形式花样多得很！”我们下面试图解释全纯微分的种种花样。

【2015年11月20日，我的又一位学生顺利答辩，获得博士学位。这位学生倜傥俊秀，玉树临风。学问做得非常好，短短数年就有9篇论文发表，尤其是在计算机视觉领域的顶级期刊（TPAMI）上发表的两篇论文：一篇首次用最优传输理论进行曲面注册和三维表情分类【1】，另一篇首次将丘成桐先生的双曲调和映照定理用于大脑皮层研究。这两个工作理论深刻，算法实用，开计算视觉相关领域的先河，相信会引领一时风潮。令老顾难以释怀的是：这位在学术上前途无量的学生最终选择了工业界的“脸书”。其实，学问做得好的人，都会对自己的研究痴迷热爱，用情很深。任何人只要看到【1】中的精美插图，都不难体会到这位学生对于这一方法的无限珍爱，一往情深。老顾相信，多年之后，这位学生历经沧桑磨砺，心中依然会珍藏着这份感情，在命运的某个刹那，再次邂逅蒙日-安培方程，内心会再次震撼颤栗，不经意间已是泪流满面。。。】

de Rham 上同调

光滑流形上的微分形式构成的群刻画了流形的拓扑。

恰当一定是闭的

我们说一个微分k-形式是恰当形式，如果存在微分(k-1)-形式使得。比如，函数的导数

就是一个恰当形式。我们可以直接证明恰当形式一定是闭形式，换言之

。

用场论的语言来描述就是：梯度的旋量为0，旋量的散度为0。我们给出两个证明，第一个证明直接应用定义：

这是因函数的偏导数和求导次序无关。有关高阶微分形式的证明非常雷同。另外一种证明是基于下同调的核心原理：边的边为空，。根据Stokes定理，

。

闭的不见得恰当

假设曲面S是单连通的，亦即曲面的同伦群平庸，曲面上的微分1-形式是闭的1-形式，。我们在曲面上任选一个基点，对于任意一个点，我们构造一条路径，连接这两点，，得到积分。我们证明积分值和路径选取无关。假设是两条连接p和q的路径，则存在一个曲面上的区域以这两条路径为边界，，由Stokes定理，我们有

亦即

。

因为积分值和路径无关，只和起点和终点有关，因此我们可以毫无歧义地定义全局函数，

，

这里积分路径任选。这意味着是函数f的微分，，单连通曲面上，闭的形式一定是恰当的。

图2. 拓扑环带曲面。

我们接着考察拓扑稍微复杂一点的曲面，如图2所示。我们沿着嘴唇将人脸曲面划开，得到一个拓扑环带，那么存在一个微分同胚将曲面映射到平面标准的拓扑环带上，，这里平面环带是

。

我们在平面环带上构造一个闭的1-形式，然后证明非恰当，

,

直接计算可以得到。如果是恰当的，那么沿着任何封闭环路积分都是0。我们取环路为单位圆，那么积分为

，

因此不是恰当的。其实，，这里是复平面的幅角函数。我们知道幅角函数是局部定义的，整体无法定义，因为，同一个点有无穷多个幅角，彼此相差的整数倍。

然后，我们用微分同胚将平环上面的微分1-形式拉回到曲面上，则拉回1-形式是曲面上的闭的非恰当的微分形式。这里，我们需要解释何为“拉回”微分形式(pull back)。首先我们需要解释“推前”矢量场(push forward)。假设，则存在一条路径，以点p为起点，为p点处的速度向量：

，

那么成为一条平面曲线，假设

，

那么，为点处的切向量，我们说映射将切向量推前成切向量，记成

。

假设为平环上的微分形式，则拉回微分形式定义为

。

直接计算表明拉回算子和外微分算子可交换，

，

因此映射将闭微分形式和恰当微分形式拉回成闭微分形式和恰当微分形式。我们上面构造的例子表明是人脸曲面上闭的非恰当微分形式。

如果两个闭形式彼此相差一个恰当形式，则我们说它们彼此上同调等价，记为。我们将所有和上同调等价的微分形式的集合记为，亦即所在的上同调等价类。我们定义

，

可以轻易证明，这一定义和上同调等价类中代表元的选取无关，因此这一定义是内在和谐的。所有的微分形式上同调等价类在加法下成群，被称为是曲面的德拉姆上同调群，(de Rham Cohomology Group)。所有闭的k-形式构成线性映射的核，记为，核本身也是线性空间。所有恰当的k-形式构成线性映射的像，记为，像本身也是线性空间，并且是核空间的子空间。像空间在核空间中的补空间就是德拉姆上同调群，

。

这意味着：闭形式和恰当形式的差别给出拓扑。用场论的语言来说就是无旋场和梯度场的差别给出拓扑信息。

图3. 女孩曲面上的调和1-形式。

图4. 女孩曲面上的调和1-形式。

Hodge 理论

在几何应用中，很多时候我们需要在一类对象中选择一个代表元。在最为理想的情况下，代表元是唯一的。比如我们考察曲面的同伦群，每一个同伦类中有无穷多条闭合曲线，我们可以选择最短的测地线。如果曲面的曲率处处为负，则每一个同伦类中有唯一的一条测地线。但是，如果曲面配有一般的度量，同伦类中的测地线可能有多条。de Rham上同调群中的调和形式就像测地线一样，成为同一上同调类的唯一代表。

Hodge理论本质是说：每一个上同调类中有且仅有一个调和微分形式。这个定理有两层意思，一是存在性，二是唯一性。

我们首先证明唯一性。假设是一个亏格为的封闭曲面，是其一维同调群的生成元。假设是上同调等价的调和1-形式，这意味着

。

由外微分算子和余微分算子的线性性质，我们有

，

所以是调和1-形式。同时，

，

因此是恰当的调和1-形式，存在调和函数，使得

。

由调和函数的极大值定理，f的极值取在曲面S的边界，但是S是封闭曲面，边界为空，因此函数f没有极值，必为常数。由此，，调和形式的唯一性得证。

然后，我们证明调和形式的存在性。假设是闭的1-形式，是一个光滑函数，那么和上同调等价。我们求解方程，这等价于求解曲面上的Poisson方程：

，

根据椭圆型PDE理论，Poisson方程解存在，并且彼此相差一个常数，因此唯一，是唯一的和上同调等价的调和形式。存在性得证。全体调和微分k-形式在加法下成群，记为。

给定任意一个微分k-形式，Hodge分解定理是说微分形式可以被唯一地分解成三个微分形式：恰当形式，余恰当形式和调和形式： 和调和k-形式， 使得

。

我们利用微分形式间的内积：

。

首先， ，这是因为：

,

同时，这是因为如果，那么

。

如果，那么

。

所以，

。

同样可证，如果，则

,,

因此

，

我们得到：

，

。

高阶调和形式的存在性和唯一性证明方法非常类似。

图5. 女孩曲面上的全纯微分形式。

总结展望

一个调和微分1-形式和其共轭形式构成所谓全纯1-形式，全纯1-形式在共形几何中具有根本的重要性：全纯形式可以给出拓扑复杂曲面的全系共形不变量;全纯形式可以构造曲面到典范平面区域的共形映射;全纯形式的乘积构成全纯二次微分，全纯二次微分是黎曼面的Teichmuller空间的切空间；全纯二次微分紧密地联系着曲面间的Teichmuller映射；全纯二次微分的射影等价类是Teichmuller空间的极限点；全纯二次微分刻画了曲面上所有的带测度的叶状结构；叶状结构的变换规律成为曲面自映射分类标准；全纯微分诱导曲面上的带有锥奇异点的平直度量，并且度量的和乐群是平庸的；全纯微分和调和映照具有密切的关系；四次全纯微分决定了曲面上所有射影结构等等。这些问题具有优美的理论体系和巨大的实用价值。我们会在后续的章节中逐步展开。

1. Z. Su,  Y. Wang, R. Shi, W. Zeng, J. Sun, F. Luo and X. Gu, "Optimal Mass Transport for Shape Matching and Comparision",  IEEE Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol 37, Issue 11, Page 2246-2259.

请长按下方二维码，选择 “识别图中二维码”，即可关注。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。