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共形模 - 连续,离散理论的有机统一

已有 6789 次阅读 2015-11-12 12:17 |系统分类:科普集锦

图1. 圆柱面的共形模。


现代计算机科学的迅猛发展,对于古典几何理论提出了许多强有力的挑战,其中最为本质的一条就是能否发展出普适的理论,使得同样的思想,同样的技巧能够适用于连续和离散情形。如此一来,从理论到算法的转换连贯自然。遗憾的是,迄今为止,这样的几何理论凤毛麟角,从抽象理论到实用算法的转换依然需要大量艰苦的工作。今天,我们讨论这样一个罕有而美妙的理论:拓扑四边形的共形模。


拓扑等价的度量曲面是否共形等价,亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射,这是一个微妙的问题。几何上,我们需要寻找共形变换下的全系不变量,通过比较不变量,我们可以判断曲面是否共形等价。如果曲面是拓扑圆盘,边界上选取四个角点,则曲面被称为是拓扑四边形。拓扑四边形的共形不变量,被称为是曲面的共形模。



图2. 拓扑四边形和共形模。


极值长度


如图2所示,设是一个拓扑圆盘,配有黎曼度量,边界上选取四个角点,逆时针排列,将边界分成4段,,这里 连接模4。


我们考察所有连接左右两侧的路径,


是和初始度量共形等价的任意一个度量,那么从左到右的最短距离为


这里是路径在度量下的长度。曲面上曲线族的极值长度定义为

这里是曲面在度量下的面积,取遍所有和初始度量共形等价的度量。


共形不变量


首先,我们来看,极值长度是共形不变量。假设两张度量曲面彼此共形等价,,同时将角点映到角点,那么映射诱导的拉回度量满足。那么曲线长度

曲面面积

,

进一步


由此,;由对称性,,因此。我们得到两个曲面的极值长度相等。换言之,极值长度是拓扑四边形曲面的共形不变量。


图3. 平直度量是极值度量。


平直度量是极值度量


如图3所示,给定平面长方形,宽为1,高为h,平直度量,则面积,曲线最短长度为,极值长度


给定任意一个共形度量,满足,并且面积,考察水平直线,其长度不小于1,

由此得到

应用柯西-施瓦兹公式

由此我们有,极值长度,因此平直度量达到极值。


平直度量存在性


如图2所示的共形映射是存在的,这一点可以简单地证明如下。我们取曲面的一个拷贝,定向取反,沿着粘合,得到一个对称的圆筒曲面。然后,类似地,我们取一个圆筒曲面的拷贝,定向取反,将两个圆筒曲面粘合,得到一个对称的轮胎曲面。根据曲面单值化定理,存在和初始度量共形等价的平直度量。由于对称性,在原来拓扑四边形曲面上,平直度量使得曲面成为一个平面长方形。这个长方形的宽高之比称为曲面的共形模。


共形模的概念可以自然的推广到拓扑环带情形,因为拓扑环带可以共形映射到长方形(左右两侧重合),如图1所示。


物理意义


串联两个电阻,则等效电阻为各个电阻之和;并联两个电阻,则等效电导(电阻之倒数)等于各个电导之和。假设电阻率为常值,则长方形材料的等效电阻等于宽比高(电极连接左右两侧)。如果,我们将长方形进行相似变换,则等效电阻并不变化。


共形变换在无穷小意义下是相似变换,因此宏观上,等效电阻在共形变换下不变,共形模的物理解释就是等效电阻


组合理论


奇妙的是,共形模理论在组合意义下依然成立,当然从统计物理角度而言,这自然顺理成章。假设是一张平面图,其中一个面被选为“外面”(包含无穷远点的面),在“外面”的边界上选取四个顶点,将外边界分成四段。 图中的一条路径是一个顶点序列之间有边相连。我们定义路径族,


在顶点上我们定义离散共形因子,路径的长度定义为

整个图的总面积为

同样的,我们定义



离散极值长度定义为


存在性和唯一性


我们将离散共形因子表示成空间中的向量:,每个分量非负,,同时对于曲线族中的所有路径,其长度不小于1,,所有满足这些线性不等式条件的构成中的凸集,


总面积为的二次函数,其水平集为椭球族。椭球和凸集的切触点存在并唯一,在此点总面积达到最小,离散极值长度被达到, 如图4所示。




图4. 存在性和唯一性


方块填充


离散极值长度有一个非常优雅的几何解释:方块填充,如图5所示。


图5. 方块填充。


所谓图的方块填充是指长方形的一个胞腔分解,满足如下条件:

  1. 中的每一个顶点对应一个方块,

  2. 如果两个顶点在图中有边相邻,则它们对应的方块彼此相切,

  3. 图的四个角点对应的方块被映成长方形的四个角。



图的离散极值长度所对应的度量实际上给出了图的一个方块填充,这个方块填充在相似意义下是唯一的。如果极值度量是,则顶点对应的方块的边长为,这些方块之间的接触关系由图的组合结构所决定,彼此严丝合缝地垒砌起来,形成一个长方形,如图5所示。原图的共形模,亦即极值长度,由长方形的宽高之比给出。


这一定理的证明虽然初等,但绝非平庸。这种天作巧合令人匪夷所思,其内在的精妙和谐令人拍案叫绝。


总结和展望


从离散极值长度理论的讨论中,我们认为黎曼度量是连接连续理论和离散理论的关键桥梁,许多几何问题如果能够用黎曼度量来刻画,那么其离散理论应该可以被建立起来。


拓扑复杂曲面的共形不变量有哪些?能否加以计算?计算方法有多少种?离散共形模理论能否推广到拓扑复杂曲面上?离散极值度量对应着拓扑复杂曲面上哪种几何概念?


这些问题都具有相当的深度,许多问题依然处于探索之中。在未来的讨论中,我们尽量试图给出令人满意的解答。



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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家,应用数学家,理论物理学家和计算机科学家,讲授现代拓扑和几何的理论,算法和应用。







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