在工程实际的应用中，例如人脸识别，表情提取等等，计算曲面间的映射是一个非常基本的问题。通常我们所寻求的映射应该是光滑的双射，同时满足一定的约束条件，例如特征点之间的对应等等。调和映射极小化弹性形变势能，物理图景清晰直观，计算上等价于求解几何椭圆型偏微分方程，算法简单稳定，因此在工程上，调和映射被广泛应用。但是对于复杂拓扑情形，我们需要小心选择目标曲面上的黎曼度量，以保证调和映射是微分同胚。

这里，我们简单地勾勒一下调和映射和工程应用直接相关的基本理论基础，虽然目前理论的发展远远超前于工程技术的水平，但是我们相信调和映射的理论为工程技术未来的发展指明了方向。我们将会看到调和映射的几何特性强烈地受到拓扑和曲率的制约，例如调和映射的存在性，唯一性，光滑性，微分同胚性，零点的分布等等。

在下面的讨论中，我们考察带有黎曼度量曲面间的可微映射，

这里z,w是曲面M,N上关于度量的等温坐标。

调和映射和保角映射的关系

通过Hopf微分理论【调和映照漫谈II】，我们知道保角映射一定是调和映射。更进一步，我们思考如下的问题：如果目标曲面上的曲率有正有负，那么同一同伦类中的调和映射有可能并不唯一，每一个调和映射都是调和能量的驻点，那么这些调和能量是否存在下界？假如存在共形映射，那么共形映射是否达到调和能量的下界？这两个问题的答案都是肯定的。

我们直接计算调和能量：

这里雅克比矩阵

因此我们得到

这里

是映射诱导的Beltrami系数，

是映射的伸缩商。

图2. Beltrami系数和伸缩商的几何意义。

我们考察从人脸曲面到平面单位圆盘的映射，如图2所示，映射将曲面上的无穷小椭圆映到平面的无穷小圆。无穷小椭圆的偏心率，就是伸缩商K，偏心率和椭圆长轴方向构成了Beltrami系数。从上面的推导我们可以看出，调和能量的下界等于目标曲面的面积；当所有的伸缩商K都是1时，调和能量的下界能够被达到，这时，映射为共形映射。

换言之，在所有可能的调和映射中，共形映射的调和能量达到全局最优。

调和映射的唯一性 调和映射的唯一性和目标曲面的曲率具有非常紧密的联系。这一点在一维情形就已经体现出来。比如，我们考察从圆周到度量曲面间的映射，

当映射为调和映射时，其像为闭测地线。如果目标曲面的曲率有正有负，那么在同一同伦类中，测地线并不唯一。如果目标曲面的曲率处处为负，那么同伦的测地线一定重合。直观上讲，假如曲面上有两条彼此同伦的闭测地线，它们之间的同伦在曲面上扫过一个拓扑圆柱面。根据高斯-博内定理，我们有

等式左边，因为圆柱面的边界为测地线，所有第二项为0，第一项非正。等式右边为0，所以第一项为0，圆柱面面积为0。两条测地线彼此重合。

封闭曲面间的调和映射，且目标曲面上的高斯曲率处处为负，如果M在N上的像不是一条闭测地线，则同伦的调和映射必然重合。一种想法是基于调和能量的凸性，设定二阶光滑同伦连接着两个调和映射，

我们计算调和能量的二阶导数

这里切矢量场定义为

拉回联络算子，源曲面上的标准正交基底和高斯曲率分别为

我们选取测地同伦，亦即

为测地线，那么最后一项恒为0，因为

因此调和能量的二阶导数恒正，调和能量为严格凸。 同时在时间为0和1点处，映射为调和映射，调和能量关于时间的一阶导数为0，由此我们有并进一步我们得到V必然处处为0，因此起始和终点处的调和映射重合。

调和映射的存在性

根据调和映射理论，如果两个曲面间有一个微分同胚，那么存在一个和此微分同胚同伦的调和映射。如果曲面间有一个非同胚的映射，那么是否一定存在一个与之同伦的调和映射？这个问题的答案是否定的。下面我们给出一个实例。

我们首先定义两个辅助函数

那么，映射的雅克比行列式为

对于调和映射，我们得到Bochner公式

调和映射诱导的辅助函数的零点是孤立零点，我们可以定义零点的阶数。

如果辅助函数不恒为0，那么辅助函数零点的总阶数和曲面的拓扑和映射的映射度之间有着整体的关系

由此，我们能够在特定条件下，讨论调和映射的存在性。例如，不存在从拓扑环面到拓扑球面，度为一的调和映射。

如果调和映射存在，并且非共形，那么零点的总阶数应该非负，

矛盾。因此调和映射必然为共形映射，进一步映射必为分支覆盖映射。因为映射的度为1，所以映射为同胚。但是我们知道拓扑环面和拓扑球面之间不存在同胚，矛盾。由此，拓扑环面和拓扑球面之间不存在度为1的调和映射。

调和映射的微分同胚性

丘成桐先生曾经证明过如下的定理。如果源曲面和目标曲面同为亏格为g的封闭曲面，调和映射的度为一，目标曲面上的曲率处处为负，那么调和映射必为微分同胚。

我们用反证法给出简略证明。假设在某一内点，雅克比行列式为负，因此区域

非空。研究函数

则它在D的边界上为0， 在D的内部处处为负，因此函数

为上调和函数(super harmonic), 在D的内部处处为正，那么雅克比行列式

在D的内部处处为正，这和D的定义相矛盾。

图3. 亏格为1的闭曲面共形变换成平环。

亏格为1的曲面

对于亏格为1的封闭曲面，我们可以找到一个平直度量，和初始度量共形等价。亏格为1的曲面配有平直度量，我们称之为平环。平环的万有覆盖空间可以等距地嵌入到欧式平面，每一个基本域是一个平行四边形。两个平环之间的调和映射就是两个平行四边形之间的仿射映射。

医学方面的应用

在脑神经科学的研究中，我们经常会遇到在大脑皮层曲面间建立微分同胚的情形。大脑皮层曲面的几何结构复杂，局部因人而异，但是都具有全局沟回特征曲线，如图3所示。

图4. 大脑半球皮层曲面，及其上主要沟回构成的特征线。

我们力图建立皮层曲面间的微分同胚，同时保证特征曲线间的对应关系。根据丘成桐定理，我们将皮层曲面沿着特征线切开，得到欧拉示性数为负的曲面，然后在其上计算双曲度量，边界被映成测地线，如图4所示：

图5. 计算大脑皮层曲面的双曲度量，边界被映成测地线。

我们再在双曲度量下用非线性热流方法计算调和映照：

这种方法保证所得注册结构是微分同胚，同时满足特征线对应的限制条件。

总结和展望

至此，我们已经简介了所有曲面间调和映射的理论和计算方法：欧拉示性数为正的曲面包括拓扑球面和拓扑圆盘，拓扑球面的调和映射可以用非线性热流方法得到，调和映射必为保角映射，两个调和映射相差一个球面的莫比乌斯变换；拓扑圆盘的调和映射归结为线性椭圆型偏微分方程，如果目标曲面为平面凸区域，边界映射为拓扑同胚，则内部映射必为微分同胚；欧拉示性数为0的曲面，配上共形的欧式度量，则调和映射为仿射映射；欧拉示性数为负的曲面，配上共形的双曲度量，则调和映射可以由非线性热流方法得到，调和映射必为微分同胚。

因此，调和映射方法可以处理具有任意拓扑的曲面，通过调节边界条件或者目标曲面上的度量，我们可以保证映射是微分同胚。 调和映射具有极大的普适性和巨大的应用价值。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。