图1. 兔子身上的调和微分形式。

【长岛深秋，漫步于old westbury的林间小径，晴空湛蓝，一碧如洗，间或有加拿大野鹅，成群掠过。林间古木参天，落叶铺径，枫叶猩红似火，鲜艳夺目，橡叶红绿相间，澄黄浅褐，绚丽缤纷。灌木丛中无名浆果，血红冶艳，娇嫩欲滴。午后斜阳，遍洒碎金，秋风微袭，枯枝瑟瑟，偶尔几个橡果，悄然坠落。寂寥无人的时刻，独自在林间伫立，心中想着全纯微分，顿觉自然的深邃神秘和单纯美好。。。】

陈伟摄于纽约长岛2015秋。

我们的终极目的是计算拓扑复杂曲面的典范共形映射从而得到全系共形不变量。直接计算映射相对困难，我们迂回地计算映射的“导数”。共形映射的“导数”是曲面上的全纯微分。全纯微分的积分就是典范共形映射，全纯微分在同伦群的典范基上的积分给出了共形不变量，周期矩阵。

依循这一途径，我们需要建立各种艰深的概念，推导晦涩的引理。但是，其几何直觉却是非常简单直观：曲面上所有无旋无散矢量场成群，此群和曲面的上同调群同构，这就是所谓的霍奇(Hodge)理论。

图2. 平面区域上的电场。

曲面上的无旋无散场（旋度为0，散度为0的场）的现实世界模型就是静电场，也可以理解为曲面上光滑得无法再光滑的矢量场。

物理解释

平面静电场 如图2所示，假设是平面区域，具有边界

其中是外边界，是内边界。我们在上设置电场，电势函数为，电势在上为0，在上为1。带电粒子在电场中的每一点都受到电场力，带电粒子在电场中的自由运动轨迹是蓝色轨道，被称为是电力线。图中红色轨道是等势线。平面区域上的电场强度是平面上的光滑矢量场，，分量表示

假设是平面区域上的一条路径，带电粒子沿着路径移动，电场对于粒子做功，总功为

假如是一条环路，围绕，D是点p的邻域，那么我们可以引进旋量的概念，

。

这里直接计算得到

。

根据Stokes定理，场强沿着一条封闭曲线做功

。

在电场情形，电场强度是电势函数的梯度，，电场沿着路径做功

，

因此，电场强度沿着任意封闭曲线做功都为0，因此电场强度的旋量处处为0，。

矢量场电场强度的散度定义为无穷小面元的净流入量，

直接计算得到

根据高斯通量定理，对于任意，电通量

等于D的内部净电荷，因为内部净电荷为0，所以电场强度的散度处处为0，。由此，平面区域上的电场强度矢量场是无旋场和无散场，我们称这种矢量场为调和场。

那么，曲面上的静电场又该如何描述？

曲面静电场  调和场的概念可以推广到曲面上，如图3所示，红色轨道表示等势线，蓝色轨道表示电力线。曲面上的电场强度切矢量场为无旋无散的调和场。

图3. 亏格为二的曲面上的调和矢量场。

图4显示的是另外一个调和切矢量场，同样无旋无散。

图4. 亏格为二的曲面上的调和矢量场。

仔细观察曲面的调和场（蓝色轨道），我们看到在图3中，每一条蓝色轨道都是有限的封闭圈；在图4中，有些蓝色轨道是无限的螺旋线。每个调和场都有两个零点，零点附近红蓝轨道交出了八边形。

我们再来看图1的兔子曲面，我们在它的两个耳朵尖端放置两个正电荷，在底面处放置一个负电荷，则其电场分布如图所示。

我们下面给出流形上调和场的微分几何定义。这些定义比较抽象，但是它们的物理意义明确，本质上是平面静电场（无旋，无散场）在曲面上的直接推广。

微分形式

流形一般无法用单个坐标系覆盖，而是被多个局部坐标系所覆盖。因此，坐标变换不可避免。有意义的几何量都是张量，在坐标变换下不变。

图5. 微分流形。

解析定义

假设给定一个带有黎曼度量的曲面，取其一组图册。设，则在上，我们有局部坐标和，坐标变换函数为，其导映射为：

。

在局部坐标系上，固定，变动，曲面上得到一条曲线。此曲线的速度向量记为，同样可以定义。在任意一点处，

构成了切空间的基底，任意一个切向量可以分解为这一基底的线性组合，

。

这里是矢量关于基底分解的线性组合系数。如果我们转换到另外一个局部坐标系下，则有

，

这等价于

切矢量场的局部表示依随局部坐标系的变化而变化，满足如上规律，则被称为是张量。

考察一个函数，则函数是全局定义的，亦即它和局部坐标的选取无关：

，

那么函数的导数也自然是和局部坐标选取无关，，

，

这样我们必有

，

因此函数的微分是张量。

推而广之，对于任何一个局部坐标系，我们指定一对函数，使得在坐标变换时，它们满足，亦即

是全局定义的张量，我们称之为一个微分1-形式。

物理意义

曲面每一点处的切空间是二维线性空间，

。

一个函数被称为是线性函数，如果，和，。所有定义在切空间的线性函数构成的线性空间被称为是余切空间，

，

余切空间的基底

，

这里线性函数和对偶，

余切空间中的每一个元素被称为是一个余切向量，余切向量场就是一个微分形式。

如果曲面上存在一个黎曼度量，则每一个微分1-形式对应于一个切矢量场，反之亦然。例如切矢量，则其对应的1-形式为

这里是黎曼度量决定的切空间上的内积。

Wedge积  两个1-形式的wedge积是一个反对称双线性形式，设，，

。

流形上所有的光滑函数被记为0-形式，k-形式由k个1-形式wedge积得到，。流形上的k-形式构成的线性空间记为。

外微分算子

上面我们讨论的场论中的微分算子，比如梯度，旋度和散度，可以被外微分所统一。k阶外微分算子将一个k-形式变成一个(k+1)-形式。

对于0-形式，，就是函数的全微分，

，

对于1-形式，，就是对于矢量场的旋度，

对于2-形式 ，在曲面上为0。

Hodge星算子

如图1左帧所示，任意带度量的可定向曲面局部存在等温坐标，

则曲面的面积元为

，

给定两个1-形式，，，则其内积为

，

我们可以定义Hodge星算子，，

，

由此我们得到在等温坐标下，

由此，

。

同时，我们有

。

Hodge星算子可以直观如下理解：令切矢量和微分1-形式对偶，和对偶，那么

，

这里是曲面在p点的法向量，即是由旋转得到。

由Hodge星算子，我们可以定义微分形式间的另外一种内积，

，

由此我们得到余微分(codifferential)算子，，它是外微分算子关于内积的共轭算子，

，

更为直接的

，

那么余微分(codifferential)算子的物理意义就是散度。

调和微分形式

调和微分形式的物理意义就是无旋无散场，调和，则

。

上式给出了调和场的椭圆型偏微分方程。

那么，自然的问题就是：调和形式存在吗？如果存在，解唯一吗？如果不唯一，那么所有的解空间的维数如何？所有解构成的群结构如何？Hodge理论给出了所有这些问题的解答：所有的调和k-形式构成群，调和k-形式群和流形的k阶上同调群同构。这意味着流形上椭圆型偏微分方程的解空间的维数受到流形拓扑的制约。

Hodge理论可以直接推广为黎曼面上的黎曼-罗赫定理，进而更为广泛的指标定理。

总结

我们的目的在于找出计算拓扑复杂曲面的共型不变量方法，为此我们需要介绍一些现代的几何概念。这里，我们主要涵盖由陈省身先生的老师-法国几何学家嘉当发明的外微积分方法（exterior calculus）。陈先生在推广这一方法的过程中，曾经遇到了许多阻力，主要是因为这一手法的抽象和复杂。

每一位初学者都感到微分形式难以理解：微分形式究竟是什么？有哪些功能？为什么要引入这一概念？是否有比较直白浅易的方式加以描述？特别是微分形式能否被计算？具体又如何计算？

微分形式是张量，几何中的真实存在（geometric being）都是张量形式表示的，它们局部坐标下的表示依随坐标变换有规律地变化。例如黎曼度量，在下的表示是，在下的表示是，那么坐标变换规律为：

，

切矢量场也是张量，

因此，我们得到坐标变换规律

。

微分形式也是张量，

我们得到坐标变换规律

。

微分形式是余切向量场，一点处余切向量是定义在切空间上的线性函数。

微分形式描述了流形上的物理几何现象，例如电磁场，上同调群。更进一步，调和微分形式反映了曲面内在的共形结构。利用活动标架法，流行上的联络由微分形式给出，从而得到曲率信息，进而陈示性类。总而言之，微分形式是一种普适而简洁的几何语言，她的推导和局部坐标选取无关。因此，微分形式，外微分是嘉当传给陈省身先生的“魔杖”。

微分形式是可以计算的，我们可以用计算机语言来直白的描述微分形式以及外微分算子和余微分算子，它们在离散曲面上的数据结构和运算规则。这种方法的好处是简单易懂，直接编程实现，我们下一讲会详细阐述。但是，这种讲法的缺陷是掩盖了思想的真实来源，用近似来取代精确，理解起来不太透彻，尤其是容易知其然，不知其所以然，难以举一反三。因此，我们还是不厌其烦地从经典理论讲起。掌握这套语言，对于进一步学习深入地理论，特别是发明前沿算法具有基础性的意义。

我们将在下一讲给出微分形式和拓扑的关系，以及调和形式的计算方法，同时证明Hodge定理。

【本文博客版本】http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-936303.html

请长按下方二维码，选择 “识别图中二维码”，即可关注。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。