前日，再度访问哈佛。跋山涉水，驱车穿行纽约，康涅狄格，马萨诸塞，一路上枫红霜重，风紧雨骤。剑桥镇阴霾密布，烟雨朦胧，典型新英格兰冬季的天气。查尔斯河蜿蜒曲折，徐缓流淌，两岸各色塔楼错落有致，琳琅玲珑。古老的校园静谧安详，百年红墙默然伫立，哈佛铜像寂寥沈郁，钟声悠远，雨声淅沥，往事如昨，恍如隔日。但是实际上，一切都已经悄然变化。

以前跟丘先生和同门师兄弟几乎每天都去与哈佛校园一街之隔的燕京餐馆午餐。坊间一直风传燕京的老板是爱新觉罗氏。实际上其老板是当年云南王龙云的后人。龙老板满口京片子，又会流利的粤语，为人热情圆融，令人如沐春风。燕京历经风雨四十余年，突然宣布停业关闭，令人错愕惋惜。

丘成桐先生刚从日本讲学归来，红光满面，神采奕奕。大师兄连文豪目前在Brandies大学数学系任教，这次前来讲解有关卡拉比-丘流形的几何问题。丘先生依然是每天六个小时的讨论班，一周六天。台湾新竹交通大学的林松山教授曾言：丘先生的数学像大海一样深不可测。其实，丘先生的刻苦努力举世无双。任何一个人，如果终其一生，终年浸淫在如此浓烈的学术氛围之中，如此频繁地和旷世高手谈经论道，最终都会成为大师。

访问期间又见到了老顾以前的学生章博士。章博士师从刘克峰师兄获得了数学博士学位；后来又在我的指导下完成计算机科学博士，在离散曲面Ricci曲率流方面颇有建树，目前追随丘先生研究离散度量空间上的梯度估计。大家都很熟悉经典的刘维尔定理：复平面上正的调和函数必为常数。年轻时代的丘成桐对这一人所共知的定理发出了深刻的疑问：任意无限大的黎曼流形上，正值调和函数一定是常数吗？他敏锐地意识到这一问题取决于流形的曲率和维数。换言之，调和函数的整体行为被流形的几何所统摄。从技术角度而言，对调和函数行为的刻画需要对其梯度精确的估计。丘先生为此方明了梯度估计方法，从而开创了用分析方法做几何研究的先河，成为几何分析这一领域的奠基人。近些年来，依随计算机技术的发展和理论物理的发展，离散空间上的梯度估计成为令人瞩目的热点问题。章博士异常幸运地追随丘先生在这方面展开研究。

访问期间老顾见到了以前辅导过的高中生Kelly，目前在哈佛大学本科学习数学。当年Kelly在老顾的指导下发明了将曲面用共形几何分解成编织模型的方法，从而给出一种新颖经济的三维打印技术，获得了国际科学竞赛的金奖。目前在期末阶段，Kelly昨夜做群的表示论作业直至凌晨三点。老顾深知Kelly的刻苦要强，亦深知Gross的代数课程的深刻抽象。当年杨振宁的父亲给了他一本群的表示论，由此激发了少年杨振宁对于对称的痴迷，最后终成大器。望着Kelly苍白憔悴的面庞，平素盈满笑意的双眸黯淡无光，老顾无比感慨。在遥远的1990年代，清华园九号楼二楼的水房，每当深夜在幽暗昏黄的灯光下，总有一位瘦骨嶙峋的少年，一边擦着鼻血一边似懂非懂地读着莫宗坚的《代数学》。那位少年就是今天的老顾。可惜的是，时至今日，老顾对于黎曼面的代数曲线的理论方法依然理解肤浅。那时的老顾不理解代数方法的要义，梦想着遇到名师高人指点，满腔热血化作偏执自虐般的苦读，但是方法不对，方向不对，无法登堂入室。多年之后，老顾受到代数几何方面的菲尔兹奖得主-芒福德的青睐，得以进入哈佛。可能冥冥中自有天意。可惜的是，那时芒福德已经钟情于计算机视觉，再也不传授其代数几何的独门绝技了。对于少年老顾而言，Gross这种大家就是神一般的存在。如今，Kelly能够在如此年轻的时候得到神级大师的亲传，令老顾无比欣慰，无比慨叹。Gross在哈佛讲坛上度过了半生，在离开哈佛之前，给出了最后一课。他的同事，朋友，学生汇聚一堂，表达惜别之情。老一代数学家归隐山林，年轻一代茁壮成长。

“你现在所吃的所有的苦，都将是你终身最为宝贵的财富。年轻时代学习最为困难的理论，成熟后必然有显著的优势。”老顾对Kelly 说道，“好的，老师！”，“你现在身边的男孩子是世界上最为优秀的一群，一定要珍惜时机。”“老师，哪有时间啊？”Kelly调皮地答道。老顾深信凭借Kelly的刻苦努力，和她在哈佛的机遇，她的前途必然不可限量。

归途中暴雨滂沱，老顾在康涅狄格州登上了轮渡，车在船上，船在海中。四周浓雾弥漫，伸手不见五指，宛若时间和空间都已经凝滞，回顾逝去的求学历程，老顾忽然感到“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”。其实，对于年轻人而言，人生最大的不幸是机遇和才华不相配。无数学子远渡重洋到美国求学，本质上是追求和他们才华相匹配的机遇。真正的有志青年并不畏惧竞争的残酷，他们真正关心的是竞争的公正。

老顾有幸指导了许多青年才俊，为他们的才华横溢和不懈进取深深折服。曾经有一位访问的杨同学，浓眉大眼，赤面虬髯，杀伐决断，刚毅果敢，堪称秦地大汉。无论我给杨同学留下任何复杂困难的编程难题，他都能在第二天彻底完成。因为长期在计算机上编程熬夜，年纪轻轻地就患上结石，有时疼痛难抑，大汗淋漓。他依然能够完成任务，其意志力令人赞叹。他和我做了有关Ricci流方面的研究，目前在英国做教授。另有一位访问学生，来同学，抓紧一切时机拼命学习。很多次，老顾路过公共汽车站，在等车的间隙，来同学依然在编程。老顾曾经亲授自己的弟子带洞拓扑球的共形模理论（今天会讲这一专题）。老顾的弟子得之过易，因而不以为然。其实，老顾为之靡费数年心血，最后是彻底学习了第一届菲尔兹奖得主Alfhors的著作，在其最后的章节才找到线索。一次老顾的弟子和章博士讨论将这一算法，来同学默记于心。后来，来同学基于这一算法发表了SIGGRAPH论文，并且取得了国际专利，这成为他以后事业成功的基石。如今，来同学成为英国某所大学的教授。

老顾每年都有许多访问学者，他们经历了各种人生的磨砺和沧桑，都异常珍惜这种学习机会。一次，大家去石溪海边散步，一位访问学者是位年轻的母亲，突然近似疯癫地向大海狂掷鹅卵石。年轻的学生们面面相觑，暗觉好笑；老顾和年长的访问学者们无语地对视一眼，心中顿时泪奔：世间最为残酷的事情莫过于将幼子和母亲分开，这位母亲为了求学所付的代价令人动容，这一切都是为了寻找和她才华相配的机遇。老顾另外的访问学者也都是抛家舍子，为了提交论文，通宵达旦，数夜不眠。老顾坚信，他们的刻苦努力必将感动上苍，在如此铁血残酷的竞争中，取得成功。每当老顾看到这些年轻人热切而诚挚的目光，老顾内心就会被深深打动。老顾依然心怀梦想：虽然人世间的竞争会愈发残酷，但是也会日益公平。

老顾的很多朋友都询问过老顾：“你为什么花费这么大的心血写《老顾谈几何》呢？没有经济宝昌，而又费力不讨好？”每当夜阑人寂，老顾写得身心俱疲之时，朦胧中老顾总是忍不住地想象：老顾穿越回90年代的清华九号楼，轻轻地拍一拍那位瘦骨嶙峋少年的肩膀，给他递上一本《老顾谈几何》。。。

今天，加州大学Davis分校数学系的Joel Hass来访问，他所做的演讲是有关共形几何在生物科学和考古方面的应用。沃尔夫奖得主Denis Sullivan有感而发，他年轻时代对于如何发展茫然惶惑，直到学习了黎曼映照定理，他觉得黎曼映照是如此美丽绝伦，简直是自然的奇迹，因为黎曼映照在一般黎曼几何中并不成立，只在二维成立。从此，Sullivan立志成为一名数学家。丘先生也曾发过类似的感慨，他认为曲面上的共形几何是上天的眷顾。

图2. 黎曼映照。

黎曼映照

我们考察单连通的拓扑曲面，带有一条边界。根据黎曼映照定理，存在共形映射，将曲面映到单位圆盘上，并且这种映射不唯一，两个黎曼映照之间相差一个单位圆盘到自身的莫比乌斯变换。

图3. 莫比乌斯变换。

以前我们介绍过调和映照《调和映照I，II，III》，我们知道共形映射必定是调和映射，但是调和映射未必是共形映射。假设给定一个从曲面边缘到单位圆周的拓扑同胚，换言之，给定狄利克雷边界条件，则存在唯一的一个调和映射满足此边界条件。然后，我们固定三个边界点在单位圆周上的像点，调节边界映射，以减少调和能量。当调和能量达到最小时，所得映射就是黎曼映照。那么如何调节边界映射以减少调和能量呢？我们计算当前映射的Laplacian，将边界点的Laplacian向单位圆周进行投影，得到Laplacian的切向分量，将边界点的像点沿着Laplacian的切向分量移动，这样调和能量就会单调递减了。我们分析这个过程，Laplacian沿着切方向的投影，这一操作决定了问题的本质是非线性的。

图4.  通过球面调和映射来计算黎曼映照。

我们也可以利用球面的调和映射来计算黎曼映照。首先，我们需要将拓扑圆盘通过双重覆盖技术转换为拓扑球面。我们准备拓扑圆盘曲面的两个拷贝，将其中一个拷贝定向取反，再将两个拷贝沿着相应的边界逐点粘合，我们得到一个亏格为零的封闭对称曲面。这个曲面的黎曼度量是严格定义的，但却不是整体嵌入。我们计算球面调和映射时，只需要黎曼度量信息。得到球面调和映射之后，我们附加球面的莫比乌斯变换，使得一个拷贝映到上半球面，另外一个拷贝映到下半球面。最后，利用Stereographic投影，将下半球面映到单位圆盘内部。如此，我们便构造了从初始拓扑圆盘曲面到单位圆盘的黎曼映照。这种方法也是非线性的。

图5. 拓扑环带的共形映射。

第三种方法是接近线性的，本质上是在拓扑圆盘曲面上打一个洞，将曲面转换成拓扑环带。我们在拓扑环带上计算调和函数，其在外边界上为0，在内边界上为1，

此调和函数的梯度是一个调和微分1-形式，此微分形式的共轭也是调和1-形式。这一对调和1-形式构成了全纯1-形式。

这一全纯1-形式的铅直轨道和内外边界平行。

图6.  恰当调和微分形式，及其共轭调和形式。

我们将此全纯1-形式乘以一个常数，使得其在外边界上的积分为.我们在外边界上选取一个基点，对于任意一点p，我们选取一条积分路径，定义映射

那么这一映射将拓扑环带映成平面上的标准环带，外半径为1，内半径为r。拓扑环带曲面的共形模为

.

我们将所打的洞的半径不断缩小，得到一系列的拓扑环带，从而得到一系列的从拓扑环带到平面标准环带的共形映射，这些映射都将映到点1。当空洞半径趋于0的时候，共形映射收敛到黎曼映照。孔洞的选择有两个自由度，的选取有一个自由度，所以所得的黎曼映照有三个自由度，彼此相差一个莫比乌斯变换，

如图3所示。

多孔环带

下面，我们考虑多孔拓扑环带情形。假设曲面有一个外边界，多个内边界。 有多种方法计算曲面的共形模，一种将曲面映到平面环带带有同心圆弧缝，一种将曲面映到平面圆域（就是平面单位圆盘带有圆形孔洞）。

图7. 恰当调和形式。

图8. 闭调和形式。

曲面的同伦群由自由生成。我们计算调和函数，在上为1，在其他边界上为0,

的梯度是曲面上的恰当调和1-形式，如图7所示，其共轭调和1-形式是曲面上非恰当的调和1-形式，如图8所示。恰当调和形式及其共轭构成全纯1-形式，这些全纯1-形式构成曲面上全纯1-形式群的基底，其铅直轨迹和边界平行，如图9所示。

图9. 全纯微分形式基底。

我们任选一个内边界，例如,  通过实线性组合我们可以构造一个全纯1-形式，其在上的积分虚部为,  在上的积分虚部为, 在其他边界上积分虚部为0. 我们在外边界上选取一个基点，对于曲面上任意一点，定义映射

，

此映射将曲面映到平面环带，是单位圆，是环带内圆，其他的边界是同心圆弧。曲面的共形模由内圆半径和同心圆弧的构型所决定，如图10所示。我们可以看出，这种方法是线性的。

图10. Slit Maps。

图11. 多孔环带被共形映到平面圆域。

第二种方法是非常非线性的Koebe迭代法。首先，我们任选一个内边界，不妨设之为，然后将其余的用一个拓扑圆盘填充，得到一个拓扑环带，我们再将此拓扑环带共形映到平面环带之上，映到平面圆洞的边界。然后，我们将中心的圆洞填充，打开，得到新的拓扑环带。在将这一拓扑环带共形映到平面环带，被映到平面圆洞的边界。我们填充平面中心圆洞，打开。如此循环反复，穷尽所有，然后再从做起。在这个过程中，曲面各个边界的像会越来越圆，在某种量度下，收敛到圆的速度是指数级的，结果如图11，图12所示。这种迭代过程显然是非线性的。

图12. Koebe迭代法计算多孔环带到平面圆域的共形映射。

我们来考察曲面的共形模。为了表示一个内圆，我们需要圆心和半径，共3个参数。K个内圆共3k个参数。同时，这种映射并不唯一，彼此相差一个莫比乌斯变换，莫比乌斯变换群是3维的。因此共形模需要3k-3个参数来描述。因此，多孔拓扑环带的模空间是3k-3维的。

总结

如上所述，我们系统地介绍了亏格为0带边界曲面共形模计算方法，我们可以看到，在这些方法中，真正起到决定性作用的是全纯微分形式。通过巧妙地使用全纯微分形式，我们可以高效而稳定地计算复杂拓扑曲面的典范共形映射和共形模。

这里我们没有解释如何计算高亏格曲面的共形模，及其模空间维数；也没有解释为何Koebe迭代法收敛，以及收敛稳定性的决定因素。我们将会在下面的章节中加以阐述。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。