图1.哈佛大学Sanders Theater。

纽约的暖冬分外迷人，长岛海边，天青云淡，碧波万顷，和风微醺，斜阳缱绻。感恩节来临，被庸琐生活磨砺得麻木冷漠的内心变得敏感而柔软，回想过往的周遭际遇，沧海桑田，不胜唏嘘；对所有曾经的老师，朋友和学生，都充满了感激。

青葱岁月，老顾有幸向清华军乐队的周乃森老先生学习单簧管的演奏技法。当时周先生已经年届古稀，依然精神矍铄，中气十足。每周四下午，在清华老音乐教室的一间狭小的琴房，高壁小窗，光线幽暗，只在钢琴上，抹一缕残阳。周先生摩挲着他那心爱的单簧管，水晶笛头，晶莹透亮。周先生吹奏木管乐器，清越激昂，颇有铜管风格。每次演奏高音旋律，总感觉像一把金属粉末撒在琴室的那束阳光中，在空中自由飞舞，闪烁着金属光泽。当时老顾处于初学阶段，运气凝滞，运指僵硬，一遇到复杂的旋律，就会动作走形。特别是精神紧张时，老顾的小拇指总会在不知不觉中翘起，这时，周先生总会用铅笔轻轻敲击老顾的小拇指，加以提醒。黄昏时分，清华园彩霞满天，杨柳扶风，琴室内晦暗朦胧，乐音袅袅，氤氲透骨。周先生这时总会抱怨视力衰退，这是因为年轻时充满激情不舍日夜地为乐队誊抄器乐总谱所致。周先生有一次对我讲，“我对你没有太多要求，只是在将来，如果你遇到有心的年轻人对音乐有兴趣，就把我教你的东西传给他（她）。”多少年后，老顾最终走上了讲坛，冥冥中，周先生的这句话起到了至关重要的作用。

哈佛岁月，老顾渴望投到丘成桐大师门下。但是，老顾的计算机科学背景令老顾自惭形秽，自卑得不敢开口。丘成桐看出了老顾的心思，宽慰道“这不要紧，只要你热爱数学，肯下苦功，就不会有问题。”一句话，令老顾感激涕零。做学子时，老顾承受学业家庭多重压力，所做成果要么不为人所知，要么被人巧取豪夺，令老顾愤恨交加，心力交瘁。丘先生又道，“你只需要做好学问，其他一切就会迎刃而解，不必太在意。”一句话，令老顾受益终生。丘先生的办公室在哈佛大学数学系图书馆的最深处，一面墙都是黑板，一面墙全是落地长窗。窗外是哈佛教堂哥特式的尖顶，直刺苍穹。新英格兰的阳光透射到室内，记忆中，整个办公室都笼罩在一层淡淡的光晕之中。就在那片黑板上，丘先生不厌其烦地给我补课，从最初等的拓扑和几何讲起，直至现代几何前沿。从曲面的基本群到Ricci曲率流，从上同调到蒙日-安培方程。在丘先生的办公室里，我忘却了尘世的浮嚣，忘却了人性的复杂，忘却了物欲的贪婪，忘却了现实的一切，只有纯粹的数学，精粹的思想。丘先生的办公室有一种强大的气场，一种圣洁的光芒，在这里，每个人的灵魂都得到涤荡，每个人都会体会到自己卑微的生命有可能融汇到自然的真理之中。

丘先生告诉我“衡量一个人学问做得怎么样其实很简单：要么看他是否证明了前人不知道的定理；要么看他是否做出了前人做不出来的算法。”丘先生的这一句话，使我明确了人生目标：用计算机来体悟现代数学，将深邃优美的几何定理从晦涩抽象的书本中解放出来，变成算法程序，使天下没有学过数学的人也能直接体会使用。丘先生抓紧一切机会向弟子们传授几何知识。一次，我们在Dophie Seafood用午餐。我那时无法理解什么样的曲面拓扑同胚但却又不存在共形同胚，苦思多日，依然不得要领，因而郁郁寡欢。丘先生随手在餐巾纸上画出了亏格为一的曲面和平环，详细讲解了曲面的共形不变量。那一刹那，我恍然大悟，顿扫阴霾。（今天，我们就讲这一理论。）

后来，和朋友们一同打天下，开创计算共形几何这一新兴领域。身边科技浪潮汹涌澎湃，潮起潮落，云涨云消。我们一同安于愚拙，不学伪巧，殚精竭虑，心无旁骛。一种拓扑一种拓扑地做过去，一种不变量一种不变量地做过去，每一步的突破都要点滴积累，累月经年。和朋友们一同欢笑，一同流泪，一同赞叹自然的美丽恢宏，一同叹惋青春的稍纵即逝。

老顾门下已经毕业了许多博士。老顾深深地感激他们，他们用生命中最璀璨的年华追随心中的梦想，为计算共形几何领域的拓展做出了不可磨灭的贡献。作为计算机科学博士，他们都曾经受到老顾不可理喻的苛求：学透相关的纯数学理论。一个算法的发明只需要几个月，但是证明算法解的存在性，唯一性，光滑性却往往需要几年，并且工程领域的学术界对理论的严密性并不心存感激。学生们的理想主义经常在现实中被人性的猥琐阴暗碰得头破血流，这时老顾总是宽慰他们：“我们做的几何是自然界的一部分，她超出人类的历史。我们最终的裁判不是人类，而是自然。”许多学生毕业后留在了学术界，更多的是加入到华尔街或硅谷。有多位学生，当他们拿到博士学位，并在硅谷或华尔街找到工作后，前来告别时都是泪流满面。他们说，他们已经学会了复杂的编程技巧，足可以此谋生，并且进入金融界或信息工业，但是他们内心真正难以割舍的还是对纯粹数学的审美，对于人类至高智力的追求；虽然依照世俗的标准，他们已经成功，但是他们深知已经离梦想愈行愈远，因此痛哭失声。老顾深深感激他们对自己内心的真诚，却只能在心中陪着他们默默流泪。追求自然的真理是一种真正的奢侈，现代社会虽然足以保证人们衣食无忧，但是真正能够追随内心的，古往今来，又有几人？

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有几次，老顾有幸和沃尔夫奖得主Denis Sullivan聊天，Sullivan非常推崇黎曼。他说黎曼时乖命蹇，英年早逝，留下的文章不多，每一篇都很薄，但是每一篇都开创一个领域！

下面，我们讨论黎曼开创的黎曼面理论。黎曼将复变函数理论推广到曲面情形，即为黎曼面。我们首先讨论黎曼面的概念，包括全纯微分，Teichmuller空间，模空间；然后，我们以亏格为一的曲面作为例子，通过解剖这只麻雀来加深这些概念的理解。我们最终是要将这些理论转化成算法，在后继的章节中我们会逐步深入阐释。

黎曼面概念

双全纯函数

图2. Escher 效果：双全纯函数是复平面间的共形映射。

假设复值函数将 映到 ,如果函数满足所谓的柯西-黎曼方程：

则函数被称为一个全纯函数。如果函数可逆，并且逆函数也是全纯的，则函数被称为是双全纯的。

如图2所示，从微分几何角度而言，双全纯函数是共形映射。老顾在办公室桌面上放了一个相框。然后将整个办公室的照片嵌入相框。相框内部还有相框，这形成无限递归嵌套结构。然后，我们将整个复平面用一个双全纯函数进行变换，封闭的相框变成了无穷的螺旋线。但是，局部形状被完美保持，例如纸兔子，米开朗基罗的大卫雕塑，毕加索的《镜中少女》，等等。这一变换由荷兰画家埃舍尔发明，因此被称为埃舍尔效果。

柯西-黎曼方程具有更为简洁的复表示，记复算子

,

则柯西-黎曼方程等价于

。

假设映射是双全纯的，那么

,

源z-平面的黎曼度量为，目标w-平面的黎曼度量为，那么由映射诱导的拉回度量为

，

和初始度量相差一个标量函数，因此映射为共形映射，亦即保角映射。

黎曼面

图2. 黎曼面的概念。

假设是一个二维拓扑流形（曲面），配有图册, 每个局部坐标为复数坐标，记为，并且坐标变换为双全纯函数，

,

则图册被称为是一个共形图册。设都是共形图册，如果它们的并集也是共形图册，则我们说共形等价。我们可以用共形等价的关系将曲面的所有共形图册分成等价类，每一个共形等价类都被称为是一个共形结构，或者一维复结构。一个带有共形结构的拓扑曲面被称为是一个黎曼面。

黎曼度量和黎曼面

共形结构弱于黎曼度量，它可以用来测量角度，但是无法测量面积，长度。假如两条曲线在黎曼面上相交，它们的交角可以在局部坐标上测量，如果，我们在局部坐标卡上测量在处的交角，记为。同理，如果同时，我们可以同法得到在处的交角。因为坐标变换保角，我们有

，

因此曲线交角的测量值和局部坐标的选取无关。换言之，曲线的交角可以全局无歧义地定义在黎曼面上。

假设是一个可定向带黎曼度量的曲面，对于曲面上任意一点，存在一个邻域，，在上存在等温坐标：。那么等温坐标构成的图册是共形图册，被称为是由黎曼度量诱导的共形结构。换言之，所有带度量的可定向曲面都是黎曼面。

黎曼面间的全纯映射

图3. 黎曼面间的双全纯映射。

我们现在可以用黎曼面来定义共形映射。考察一个黎曼面，这里是S的复结构。复值函数被称为是亚纯函数，如果其局部表示

是亚纯函数。推而广之，假设是黎曼面之间的映射，如果每一个局部表示

都是双全纯函数。

亚纯微分

假设是黎曼面上的复微分形式，具有局部表示

，

这里是亚纯函数，是整数，则被称为是型的亚纯微分；如果是全纯函数，则被称为是全纯微分。

黎曼面上的微分形式的定义非常抽象，但是其背后具有非常丰富的几何内涵，对理解黎曼面的几何具有根本的重要性。全纯1-形式可以用于计算曲面的共形不变量，计算共形等价的曲面间的共形映射；全纯二次微分可以用于计算曲面的叶状结构，非共形等价的曲面间最接近共形映射的极值映射；固定两个黎曼面，则（-1,1）型的微分控制了曲面间的微分同胚；全纯四次微分可以用于计算曲面的实射影结构。

我们下面用亏格为一的曲面来解释如何使用全纯1-形式来计算几何问题。

拓扑轮胎模空间

图4. 亏格为一的曲面的共形模。

如图4所示，亏格为一的曲面的共形模可以通过全纯1-形式计算出来。假设小猫模型的曲面为，带有黎曼度量，诱导的共形图册记为。我们在前面的讨论中【霍奇理论 Hodge Theory（二）】，证明了调和微分形式的存在性和在每一个上同调类中的唯一性。假设是一个调和1-形式，其共轭调和1-形式为，那么

是全纯1-形式。我们选取一个特殊的全纯1-形式，满足如下条件：取曲面同伦群基底,，沿着a积分为1，

。

设沿着b积分为。

令是曲面的万有覆盖空间(universal covering space)，p是投影映射。那么投影映射诱导的拉回度量为，拉回度量诱导了覆盖空间的共形结构，记为。投影映射诱导的拉回全纯1-形式为，那么在共形结构上仍然为全纯1-形式。因为是单连通的，全纯1-形式的实部和虚部都是调和的，因此是恰当的。我们定义全纯函数，固定基点，

。

如图4所示，f将万有覆盖空间共形地映到复平面上。这时，万有覆盖空间的覆盖变换群（甲板映射群）是复平面上的刚体变换群的子群，实际上是格点群，

。

格点群作用在复平面上，所得的商空间是一个平环，映射f给出了曲面到平环的共形映射。

Teichmuller空间

我们下面考虑拓扑轮胎曲面上所有可能的共形结构。假设，是两个带标记的度量曲面，标记是的一组典范同伦群基底，如果存在共形映射

并且

，

那么我们说这两个带标记的度量曲面Teichmuller等价。

我们考虑所有亏格为1的带标记的封闭度量曲面，在Teichmuller等价关系下被分成Teichmuller共形等价类。所有Teichmuller共形等价类构成的集合被称为是亏格为1的封闭曲面的Teichmuller空间，记为

。

由上讨论，我们知道所有亏格为1的带黎曼度量的曲面都和平环共形定价。每个平环的基本域是复平面上的一个平行四边形，底边是沿着a的积分，斜边沿着b的积分。经过重整化，我们可以令平行四边形的底边为1，斜边表示为一个复数，的虚部为正数，

。

这意味着拓扑轮胎的Teichmuller空间和上半复平面同胚。

模空间

假设，是两个度量曲面，如果存在共形映射

那么我们说这两个带标记的度量曲面共形等价。我们考虑所有亏格为1的封闭度量曲面，在共形等价关系下被分成共形等价类。所有共形等价类构成的集合被称为是亏格为1的封闭曲面的模空间(Moduli Space)，记为

。

我们看到共形等价比Teichmuller共形等价更加宽泛：共形等价对于映射的同伦类没有要求，Teichmuller共形等价对于映射的同伦类有苛刻要求。

我们知道，曲面到自身的所有自同胚的同伦等价类构成了曲面映射类群(Mapping Class Group)，记为。假设是一个自同胚，它诱导了曲面同调群之间的同构，，那么

，

所以和特殊线性群同构。设曲面基本域的形状，亦即周期是

，

在作用下，周期变成

，

重整化之后，新的周期是

。

从原来的周期到新的周期，彼此相差一个莫比乌斯变换，

,

同时我们可以看出，诱导同样的新周期。

实际上，Teichmuller空间是模空间的万有覆盖空间，由上讨论，我们知道覆盖变换群是模群（Modular Group），

。

这个群和射影特殊线性群同构。模群有两个生成元：

，

模群的表示为

。

因此拓扑轮胎的模空间等于上半平面关于射影特殊线性群的商空间，

。

图5. 拓扑轮胎的模空间。

简单计算表明，轮胎的模空间同胚于图5中的阴影区域：

我们可以看出模空间具有奇异点，因而整体不是流形，而是orifold。

总结展望

我们在这一讲，介绍了黎曼面的概念，亚纯微分的概念，以及Teichmuller空间和模空间的概念，并且以全纯微分为工具计算来明确给出拓扑轮胎的共形模，Teichmuller空间和模空间。

我们在后面的章节中会将这种方法系统地推广到其他的拓扑曲面。

【本文博客版本】http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-936303.html

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。